Geraden im Raum
In der Analytischen Geometrie beschreibst Du eine Gerade mit Vektoren: Du startest an einem festen Punkt und gehst beliebig weit in eine feste Richtung. Diese Darstellung heißt Parameterform und funktioniert in der Ebene genauso wie im Raum.
Die Parameterform
Merke: Parameterform einer Geraden
- $\vec{p}$ ist der Stützvektor – der Ortsvektor eines Punktes der Geraden („hier geht's los“).
- $\vec{u}$ ist der Richtungsvektor – er gibt die Richtung an und darf nicht der Nullvektor sein.
- Der Parameter $t$ sagt, wie oft Du $\vec{u}$ gehst. Jeder Wert von $t$ liefert einen Punkt.
Beispiel: Gerade durch zwei Punkte
Gesucht ist die Gerade durch $A(1 \mid 2 \mid 0)$ und $B(3 \mid 1 \mid 4)$. Stützvektor ist $\vec{a}$, Richtungsvektor der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$:
Für $t = 0$ erhältst Du $A$, für $t = 1$ den Punkt $B$.
Tipp
Eine Gerade hat viele Parameterformen: Jeder Punkt der Geraden kann Stützpunkt sein, und jedes Vielfache von $\vec{u}$ (außer 0) ist ein Richtungsvektor. $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}$ beschreibt dieselbe Richtung wie $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?
Setze den Punkt für $\vec{x}$ ein und löse jede Zeile nach $t$ auf. Kommt in allen Zeilen derselbe Wert heraus, liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt $P(5 \mid 0 \mid 8)$ auf $g$ von oben?
Dreimal $t = 2$: $P$ liegt auf $g$. Für $Q(3 \mid 1 \mid 5)$ ergibt sich dagegen $t = 1$, $t = 1$ und $t = 1{,}25$ – ein Widerspruch, $Q$ liegt nicht auf $g$.
Lagebeziehungen zweier Geraden
Zwei Geraden $g\colon \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}$ und $h\colon \vec{x} = \vec{q} + t \cdot \vec{v}$ können auf vier Arten zueinander liegen:
| Lage | Richtungsvektoren | gemeinsame Punkte |
|---|---|---|
| identisch | parallel | alle |
| echt parallel | parallel | keine |
| schneidend | nicht parallel | genau einer (Schnittpunkt) |
| windschief (nur im Raum) | nicht parallel | keine |
So gehst Du vor
- Prüfe, ob $\vec{u}$ und $\vec{v}$ parallel sind ($\vec{v} = r \cdot \vec{u}$).
- Ja: Mache mit dem Stützpunkt von $h$ die Punktprobe in $g$. Liegt er auf $g$, sind die Geraden identisch, sonst echt parallel.
- Nein: Setze die Geraden gleich, $\vec{p} + s \cdot \vec{u} = \vec{q} + t \cdot \vec{v}$, und löse das Gleichungssystem aus drei Gleichungen. Gibt es eine Lösung, schneiden sich die Geraden, sonst sind sie windschief.
Beispiel: Schnittpunkt
Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Gleichsetzen ergibt
Das System ist lösbar. $s = 1$ in $g$ eingesetzt liefert den Schnittpunkt $S(2 \mid 1 \mid 1)$. Probe mit $t = -2$ in $h$: $(2 \mid 3 - 2 \mid 1) = (2 \mid 1 \mid 1)$ ✓.
Beispiel: windschief
$g\colon \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $h\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$: Die Richtungen sind nicht parallel. Gleichsetzen liefert $s = 0$, $0 = 1 + t$ und $0 = 1$ – die letzte Zeile ist falsch. Es gibt keinen Schnittpunkt: Die Geraden sind windschief, sie gehen im Raum aneinander vorbei.
Beispiel: echt parallel
$g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $h\colon \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$: Der Richtungsvektor von $h$ ist das $(-2)$-Fache von dem von $g$. Punktprobe mit $O(0 \mid 0 \mid 0)$ in $g$: $1 + 2s = 0$ ergibt $s = -\frac{1}{2}$, aber $2 - s = 0$ ergibt $s = 2$ – Widerspruch. Die Geraden sind echt parallel.
Schnittwinkel zweier Geraden
Zwei sich schneidende Geraden bilden zwei Winkel, die zusammen 180° ergeben. Der Schnittwinkel ist der kleinere davon (zwischen 0° und 90°). Ihn erhältst Du über die Richtungsvektoren – der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass nie der stumpfe Winkel herauskommt:
Für $g$ und $h$ aus dem Schnittpunkt-Beispiel: $\cos \varphi = \frac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, also $\varphi = 45^\circ$. Mehr dazu beim Skalarprodukt.
Typische Fehler
- Beim Gleichsetzen für beide Geraden denselben Parameter verwenden – nimm immer verschiedene Buchstaben ($s$ und $t$)!
- Nur zwei der drei Gleichungen lösen und die dritte nicht prüfen – genau dort zeigt sich, ob die Geraden windschief sind.
- Den Parameterwert statt des Punktes als Ergebnis angeben: Gesucht ist $S(2 \mid 1 \mid 1)$, nicht $s = 1$.
Ausblick: Ebenen
Mit zwei Richtungsvektoren beschreibst Du eine Ebene: $E\colon \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$. Ein Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ (siehe Kreuzprodukt), damit erhältst Du die Normalenform $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$. Wie man Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten löst, steht unter Lineare Gleichungssysteme.
Online üben
Stufe 1: Gerade durch zwei Punkte, Stufe 2: Punktprobe, Stufe 3: Schnittpunkt.
Stufe 2: Punktprobe
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Aufgabe 1
\(P(2 \mid -5 \mid 10) \text{ auf } g: \vec{x} = (4 \mid 3 \mid 2) + t \cdot (1 \mid 4 \mid -4)\ ?\)\(\text{ja, } t = -2\)
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Aufgabe 2
\(P(-7 \mid -2 \mid 2) \text{ auf } g: \vec{x} = (-4 \mid 0 \mid 1) + t \cdot (3 \mid 3 \mid -1)\ ?\)\(\text{nein}\)
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Aufgabe 3
\(P(0 \mid 2 \mid 4) \text{ auf } g: \vec{x} = (-2 \mid 4 \mid 4) + t \cdot (2 \mid -2 \mid 0)\ ?\)\(\text{ja, } t = 1\)
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Aufgabe 4
\(P(7 \mid 0 \mid 4) \text{ auf } g: \vec{x} = (3 \mid -3 \mid 1) + t \cdot (4 \mid 3 \mid 3)\ ?\)\(\text{ja, } t = 1\)
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Aufgabe 5
\(P(3 \mid -3 \mid 1) \text{ auf } g: \vec{x} = (4 \mid -5 \mid 5) + t \cdot (-1 \mid 0 \mid -4)\ ?\)\(\text{nein}\)
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Aufgabe 6
\(P(2 \mid 1 \mid 1) \text{ auf } g: \vec{x} = (4 \mid -1 \mid -1) + t \cdot (2 \mid -2 \mid 0)\ ?\)\(\text{nein}\)
Arbeitsblatt: Geraden im Raum
Bis zu 10 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Weiterlesen: Geradengleichung bei Wikipedia