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Rechnen mit Vektoren

Mit Vektoren rechnest Du fast so einfach wie mit Zahlen – nur eben Zeile für Zeile. Hier lernst Du, wie Du Verbindungsvektoren bildest, Vektoren addierst, subtrahierst und vervielfachst, und was das geometrisch bedeutet.

Ortsvektor und Verbindungsvektor

xy11abABAB
Verbindungsvektor = Ortsvektor der Spitze minus Ortsvektor des Fußes

Der Ortsvektor eines Punktes zeigt vom Ursprung $O$ zu diesem Punkt. Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ zeigt von $A$ nach $B$. Du berechnest ihn mit der Regel „Spitze minus Fuß“:

\[\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}\]

Beispiel

In der Skizze ist $A(1 \mid 1)$ und $B(5 \mid 3)$, also $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Im Raum mit $A(2 \mid -1 \mid 3)$ und $B(5 \mid 1 \mid -1)$:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 1 - (-1) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\]

Achtung

Die Reihenfolge ist wichtig: $\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}$ zeigt genau in die Gegenrichtung – alle Vorzeichen drehen sich um. Und vorsichtig mit Minus mal Minus: $1 - (-1) = 2$.

Vektoren addieren

xy11aba + b
Pfeile aneinanderhängen: erst a, dann b

Geometrisch hängst Du die Pfeile aneinander: Der zweite Pfeil beginnt an der Spitze des ersten. Der Summenvektor führt vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten. Die gestrichelten Pfeile zeigen: Die Reihenfolge ist egal, es entsteht ein Parallelogramm. Rechnerisch addierst Du komponentenweise:

\[\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}\]

Beispiel

\[\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 4 \\ -1 + 2 \\ 3 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Vektoren subtrahieren

Subtrahieren heißt: den Gegenvektor addieren. Der Gegenvektor $-\vec{b}$ ist gleich lang wie $\vec{b}$, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung:

\[\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{pmatrix}\]

Beispiel

\[\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 4 \\ -1 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\]

Vielfache eines Vektors

xy11a2a−a
Vervielfachen streckt den Pfeil, ein Minus dreht ihn um

Wenn Du einen Vektor mit einer Zahl $r$ multiplizierst, wird jede Koordinate mit $r$ malgenommen. Der Pfeil wird dabei um den Faktor $|r|$ gestreckt oder gestaucht. Ist $r$ negativ, zeigt er in die Gegenrichtung.

\[r \cdot \vec{a} = r \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}\]

Beispiel

\[3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} \qquad -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Kombinationen wie $2\vec{a} - 3\vec{b}$ heißen Linearkombinationen. Rechne zuerst die Vielfachen aus, dann addiere bzw. subtrahiere.

Parallele (kollineare) Vektoren

Zwei Vektoren sind parallel (man sagt auch kollinear), wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{b} = r \cdot \vec{a}$. Zum Prüfen teilst Du die Koordinaten nacheinander – es muss jedes Mal derselbe Faktor herauskommen.

Beispiel

  • $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ – parallel, aber entgegengesetzt gerichtet.
  • $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$: Die Faktoren sind $2$, $2$ und $\frac{5}{3}$ – also nicht parallel.

Mittelpunkt und Parallelogramm

Den Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ erhältst Du, indem Du die Ortsvektoren addierst und halbierst:

\[\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b})\]

Beispiel

$A(2 \mid -1 \mid 3)$ und $B(4 \mid 5 \mid -1)$: $\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, also $M(3 \mid 2 \mid 1)$.

Beispiel: vierter Eckpunkt eines Parallelogramms

Gegeben sind $A(1 \mid 0 \mid 2)$, $B(4 \mid 1 \mid 2)$ und $C(5 \mid 4 \mid 3)$. Im Parallelogramm $ABCD$ ist $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$:

\[\vec{d} = \vec{a} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad D(2 \mid 3 \mid 3)\]

Typische Fehler

  • Vektor plus Zahl gibt es nicht – nur Vektor plus Vektor oder Zahl mal Vektor.
  • Beim Vervielfachen jede Koordinate mit dem Faktor malnehmen, nicht nur die erste.
  • Beim Parallelogramm auf die Reihenfolge der Ecken achten: $ABCD$ wird im Kreis durchlaufen, deshalb ist $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (nicht $\overrightarrow{CB}$).

Eigene Vektoren berechnen? Der Vektorrechner addiert, subtrahiert und vervielfacht – auch mit Brüchen wie $\frac{1}{3}$.

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Online üben

Die Vektoren sind platzsparend in Zeilenschreibweise $(x \mid y \mid z)$ angegeben.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 2: im Raum, auch Vielfache

  1. Aufgabe 1
    \((6 \mid 4 \mid 5) - (-2 \mid 5 \mid 4)\)
    \((6 \mid 4 \mid 5) - (-2 \mid 5 \mid 4) = (8 \mid -1 \mid 1)\)
  2. Aufgabe 2
    \((8 \mid 7 \mid 7) + (-1 \mid 3 \mid 6)\)
    \((8 \mid 7 \mid 7) + (-1 \mid 3 \mid 6) = (7 \mid 10 \mid 13)\)
  3. Aufgabe 3
    \((-6 \mid 5 \mid 0) - (3 \mid 8 \mid 3)\)
    \((-6 \mid 5 \mid 0) - (3 \mid 8 \mid 3) = (-9 \mid -3 \mid -3)\)
  4. Aufgabe 4
    \((0 \mid -5 \mid 7) - (8 \mid 1 \mid 2)\)
    \((0 \mid -5 \mid 7) - (8 \mid 1 \mid 2) = (-8 \mid -6 \mid 5)\)
  5. Aufgabe 5
    \((5 \mid -9 \mid 2) - (5 \mid 6 \mid 4)\)
    \((5 \mid -9 \mid 2) - (5 \mid 6 \mid 4) = (0 \mid -15 \mid -2)\)
  6. Aufgabe 6
    \(4 \cdot (-3 \mid 8 \mid -8)\)
    \(4 \cdot (-3 \mid 8 \mid -8) = (-12 \mid 32 \mid -32)\)

Arbeitsblatt: Vektoren addieren, subtrahieren und vervielfachen

Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.

Weiterlesen: Vektor bei Wikipedia

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