Menü
Kl. 11Kl. 12Kl. 13

Skalarprodukt

Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren so „malgenommen“, dass eine Zahl herauskommt (ein Skalar). Mit dieser Zahl prüfst Du, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und berechnest den Winkel zwischen ihnen.

Das Skalarprodukt berechnen

Merke

Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\]

Beispiel

\[\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 8 - 2 - 3 = 3\]

Rechenregeln

  • Die Reihenfolge ist egal: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
  • Ein Vektor mal sich selbst ergibt das Quadrat seiner Länge: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
  • Zahlen lassen sich vorziehen: $(r \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Senkrechte (orthogonale) Vektoren

xy11ab
(2 | 1) und (−1 | 2) stehen senkrecht: 2·(−1) + 1·2 = 0

Merke: Orthogonalität

Zwei Vektoren (nicht der Nullvektor) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist:

\[\vec{a} \perp \vec{b} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

Beispiel: Senkrecht oder nicht?

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 4 - 2 - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \text{die Vektoren sind orthogonal.}\]

Beispiel: fehlende Koordinate bestimmen

Für welches $t$ ist $\begin{pmatrix} 3 \\ t \\ 1 \end{pmatrix}$ senkrecht zu $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$?

\[3 \cdot 2 + t \cdot 1 + 1 \cdot (-4) = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 + t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -2\]

Tipp: einen senkrechten Vektor finden

In der Ebene: Koordinaten tauschen und bei einer das Vorzeichen ändern: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Im Raum geht das genauso mit zwei Koordinaten, die dritte wird 0: $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Einen Vektor, der auf zwei Vektoren senkrecht steht, liefert das Kreuzprodukt.

Winkel zwischen zwei Vektoren

xy11φab
Der Winkel φ zwischen zwei Vektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt

Das Skalarprodukt hängt mit dem Winkel $\varphi$ zwischen den Vektoren zusammen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi$. Umgestellt nach dem Kosinus:

Merke: Winkelformel

\[\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Beispiel in der Ebene

Für $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ aus der Skizze:

\[\cos \varphi = \frac{4 + 3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \approx 0{,}5369 \quad\Rightarrow\quad \varphi \approx 57{,}53^\circ\]

Beispiel im Raum

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ und $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$.

\[\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \varphi = 60^\circ\]

Beispiel: Winkel im Dreieck

Im Dreieck $A(0 \mid 0 \mid 0)$, $B(4 \mid 0 \mid 0)$, $C(2 \mid 3 \mid 0)$ ist der Winkel bei $A$ der Winkel zwischen $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$:

\[\cos \alpha = \frac{8}{4 \cdot \sqrt{13}} \approx 0{,}5547 \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 56{,}31^\circ\]

Wichtig: Beide Vektoren müssen im Eckpunkt beginnen. Für den Winkel bei $B$ nimmst Du $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$.

Tipp: Am Vorzeichen erkennst Du den Winkel

  • $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$: Der Winkel ist spitz (kleiner als 90°).
  • $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: Der Winkel ist ein rechter Winkel.
  • $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$: Der Winkel ist stumpf (größer als 90°).

Typische Fehler

  • Das Skalarprodukt ist eine Zahl, kein Vektor – am Ende steht keine Spalte.
  • Beim Winkel im Dreieck einen Vektor falsch herum nehmen ($\overrightarrow{BA}$ statt $\overrightarrow{AB}$) – dann kommt der Nebenwinkel $180^\circ - \varphi$ heraus.
  • Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) statt in Grad (DEG).

Mit dem Vektorrechner kannst Du Skalarprodukt und Winkel mit Rechenweg nachrechnen.

Anzeige

Online üben

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 2: fehlende Koordinate für Orthogonalität

  1. Aufgabe 1
    \((5 \mid t \mid -2) \perp (-4 \mid -4 \mid -4)\)
    \(t = -3\)
  2. Aufgabe 2
    \((-4 \mid t \mid 1) \perp (-1 \mid -3 \mid 5)\)
    \(t = 3\)
  3. Aufgabe 3
    \((-2 \mid t \mid -5) \perp (4 \mid 3 \mid -4)\)
    \(t = -4\)
  4. Aufgabe 4
    \((1 \mid t \mid -1) \perp (4 \mid 2 \mid 2)\)
    \(t = -1\)
  5. Aufgabe 5
    \((5 \mid t \mid 6) \perp (1 \mid -5 \mid -5)\)
    \(t = -5\)
  6. Aufgabe 6
    \((-2 \mid t \mid -3) \perp (-2 \mid -2 \mid 4)\)
    \(t = -4\)

Arbeitsblatt: Skalarprodukt, Orthogonalität und Winkel

Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.

Weiterlesen: Skalarprodukt bei Wikipedia

Passt dazu

RechnerVektorrechner – Vektoren online berechnen mit RechenwegSumme, Differenz, Vielfaches, Betrag, Einheitsvektor, Skalarprodukt, Winkel, Kreuzprodukt und Abstand – exakt mit Brüchen und Wurzeln.Klasse 11–13 · VektorenErklärungRechnen mit Vektoren – addieren, subtrahieren, vervielfachenOrtsvektor, Verbindungsvektor, Addition, Subtraktion, Vielfache, Mittelpunkt und parallele Vektoren.Klasse 11–12 · VektorenErklärungBetrag eines Vektors und Abstand zweier PunkteDie Länge eines Vektors mit dem Satz des Pythagoras berechnen, Abstand zweier Punkte und Einheitsvektor.Klasse 11–12 · VektorenErklärungKreuzprodukt (Vektorprodukt) – Normalenvektor und FlächeninhaltKreuzprodukt berechnen, Normalenvektor finden und Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck bestimmen.Klasse 12–13 · VektorenErklärungGeraden im Raum – Parameterform, Punktprobe und LagebeziehungenGeradengleichung aufstellen, Punktprobe, Schnittpunkt berechnen und parallele, identische und windschiefe Geraden erkennen.Klasse 11–13 · Vektoren
Anzeige