ggT- und kgV-Rechner
Gib zwei bis vier Zahlen ein. Der Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) – mit Primfaktorzerlegung und euklidischem Algorithmus.
Ergebnis
Die Zahlen sind teilerfremd (ggT = 1).
Rechenweg
Primfaktorzerlegung
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und schreibe gleiche Primzahlen untereinander.
\[35 = 5 \cdot 7\]\[64 = 2^{6}\]Zahl 2 5 7 35 \(5\) \(7\) 64 \(2^{6}\) ggT kgV \(2^{6}\) \(5\) \(7\) ggT: gemeinsame Primfaktoren, kleinster Exponent
Es gibt keinen Primfaktor, der in allen Zahlen vorkommt. Die Zahlen sind teilerfremd, der ggT ist 1.
\[\text{ggT} = 1\]kgV: alle Primfaktoren, größter Exponent
Nimm jede Primzahl, die irgendwo vorkommt – jeweils mit dem größten Exponenten.
\[\text{kgV} = 2^{6} \cdot 5 \cdot 7 = 2240\]Kontrolle mit dem euklidischen Algorithmus
Teile die größere durch die kleinere Zahl mit Rest. Dann teilst Du den Divisor durch den Rest – so lange, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
64 = 1 · 35 + 29 35 = 1 · 29 + 6 29 = 4 · 6 + 5 6 = 1 · 5 + 1 5 = 5 · 1 + 0 Probe
Für zwei Zahlen gilt immer: ggT mal kgV = Produkt der beiden Zahlen.
\[1 \cdot 2240 = 2240 = 35 \cdot 64\]
Wofür brauche ich ggT und kgV?
- Mit dem ggT kürzt Du einen Bruch in einem Schritt vollständig: $\frac{84}{120} = \frac{84 : 12}{120 : 12} = \frac{7}{10}$.
- Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.
Alle Methoden mit Beispielen und Sachaufgaben findest Du bei ggT und kgV einfach erklärt.