ggT- und kgV-Rechner
Gib zwei bis vier Zahlen ein. Der Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) – mit Primfaktorzerlegung und euklidischem Algorithmus.
Ergebnis
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches:
Rechenweg
Primfaktorzerlegung
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und schreibe gleiche Primzahlen untereinander.
\[84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7\]\[120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5\]Zahl 2 3 5 7 84 \(2^{2}\) \(3\) \(7\) 120 \(2^{3}\) \(3\) \(5\) ggT \(2^{2}\) \(3\) kgV \(2^{3}\) \(3\) \(5\) \(7\) ggT: gemeinsame Primfaktoren, kleinster Exponent
Nimm nur die Primzahlen, die in allen Zahlen vorkommen – jeweils mit dem kleinsten Exponenten.
\[\text{ggT} = 2^{2} \cdot 3 = 12\]kgV: alle Primfaktoren, größter Exponent
Nimm jede Primzahl, die irgendwo vorkommt – jeweils mit dem größten Exponenten.
\[\text{kgV} = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840\]Kontrolle mit dem euklidischen Algorithmus
Teile die größere durch die kleinere Zahl mit Rest. Dann teilst Du den Divisor durch den Rest – so lange, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
120 = 1 · 84 + 36 84 = 2 · 36 + 12 36 = 3 · 12 + 0 Probe
Für zwei Zahlen gilt immer: ggT mal kgV = Produkt der beiden Zahlen.
\[12 \cdot 840 = 10\,080 = 84 \cdot 120\]
Wofür brauche ich ggT und kgV?
- Mit dem ggT kürzt Du einen Bruch in einem Schritt vollständig: $\frac{84}{120} = \frac{84 : 12}{120 : 12} = \frac{7}{10}$.
- Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.
Alle Methoden mit Beispielen und Sachaufgaben findest Du bei ggT und kgV einfach erklärt.