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Kl. 6

ggT und kgV

Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) und das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) brauchst Du vor allem in der Bruchrechnung – zum Kürzen und zum Gleichnamig-Machen. Aber auch in vielen Sachaufgaben stecken sie drin.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Merke

Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.

Methode 1: Teilermengen vergleichen

Beispiel: ggT(24, 36)

$T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, \mathbf{12}, 24\}$
$T_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, \mathbf{12}, 18, 36\}$

Gemeinsame Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte ist 12 → $\text{ggT}(24, 36) = 12$.

Methode 2: Primfaktorzerlegung

Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren. Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren – jeweils mit dem kleineren Exponenten.

\[\begin{aligned} 84 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 7\\ 120 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5\\ \text{ggT}(84, 120) &= 2^2 \cdot 3 = 12 \end{aligned}\]

Methode 3: Euklidischer Algorithmus

Bei großen Zahlen ist dieses Verfahren am schnellsten: Teile die größere Zahl durch die kleinere mit Rest. Dann teilst Du die kleinere Zahl durch den Rest – und so weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.

\[\begin{aligned} 120 &= 1 \cdot 84 + 36\\ 84 &= 2 \cdot 36 + 12\\ 36 &= 3 \cdot \mathbf{12} + 0 \qquad\Rightarrow\quad \text{ggT} = 12 \end{aligned}\]

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

Merke

Das kgV zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden Zahlen ist (außer 0).

Methode 1: Vielfachenmengen vergleichen

Beispiel: kgV(6, 8)

$V_6 = \{6, 12, 18, \mathbf{24}, 30, 36, 42, 48, \ldots\}$
$V_8 = \{8, 16, \mathbf{24}, 32, 40, 48, \ldots\}$

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 24 → $\text{kgV}(6, 8) = 24$.

Tipp

Schreibe die Vielfachen der größeren Zahl auf und prüfe jeweils, ob sie durch die kleinere teilbar sind: 8, 16, 24 – 24 ist durch 6 teilbar. Fertig!

Methode 2: Primfaktorzerlegung

Das kgV ist das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren – jeweils mit dem größeren Exponenten.

\[\text{kgV}(84, 120) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840\]

Methode 3: Über den ggT

Für zwei Zahlen gilt: $\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$. Also:

\[\text{kgV}(84, 120) = \frac{84 \cdot 120}{\text{ggT}(84, 120)} = \frac{10\,080}{12} = 840\]

Typischer Fehler

ggT und kgV werden verwechselt. Merkhilfe: Der ggT ist höchstens so groß wie die kleinste Zahl, das kgV mindestens so groß wie die größte Zahl.

ggT und kgV in Sachaufgaben

ggT: gleich große Teile

Ein Gärtner hat 24 Rosen und 36 Tulpen. Er will daraus möglichst viele gleiche Sträuße binden, ohne dass Blumen übrig bleiben. Wie viele Sträuße werden es?

$\text{ggT}(24, 36) = 12$ → 12 Sträuße mit je 2 Rosen und 3 Tulpen.

kgV: wann trifft man sich wieder?

Bus A fährt alle 6 Minuten, Bus B alle 8 Minuten. Um 7:00 Uhr fahren beide gleichzeitig ab. Wann fahren sie das nächste Mal gleichzeitig?

$\text{kgV}(6, 8) = 24$ → nach 24 Minuten, also um 7:24 Uhr.

Merke: Wenn etwas aufgeteilt wird, brauchst Du meist den ggT. Wenn sich etwas wiederholt und wieder trifft, meist das kgV.

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Stufe 2: kgV von zwei Zahlen

  1. Aufgabe 1
    \(\text{kgV}(4,\ 9)\)
    \(\text{kgV}(4,\ 9) = 36\)
  2. Aufgabe 2
    \(\text{kgV}(13,\ 7)\)
    \(\text{kgV}(13,\ 7) = 91\)
  3. Aufgabe 3
    \(\text{kgV}(11,\ 12)\)
    \(\text{kgV}(11,\ 12) = 132\)
  4. Aufgabe 4
    \(\text{kgV}(9,\ 8)\)
    \(\text{kgV}(9,\ 8) = 72\)
  5. Aufgabe 5
    \(\text{kgV}(4,\ 13)\)
    \(\text{kgV}(4,\ 13) = 52\)
  6. Aufgabe 6
    \(\text{kgV}(6,\ 22)\)
    \(\text{kgV}(6,\ 22) = 66\)

Arbeitsblatt: ggT und kgV

Bis zu 18 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6.

Eigene Zahlen? Der ggT-kgV-Rechner zeigt alle drei Methoden für bis zu vier Zahlen.

Weiterlesen: Größter gemeinsamer Teiler bei Wikipedia

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