Negative Zahlen
Im Winter zeigt das Thermometer $-5\,°\text{C}$, auf dem Konto steht ein Minus, ein Taucher befindet sich 20 Meter unter dem Meeresspiegel. Für all das brauchst Du negative Zahlen.
Die Zahlengerade
Verlängert man den Zahlenstrahl über die 0 hinaus nach links, entsteht die Zahlengerade. Links von der 0 liegen die negativen Zahlen, rechts die positiven. Die natürlichen Zahlen $1, 2, 3, \ldots$, ihre Gegenzahlen $-1, -2, -3, \ldots$ und die 0 heißen zusammen ganze Zahlen ($\mathbb{Z}$).
- Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie: $-7 < -2$, obwohl 7 größer als 2 ist.
- Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur 0: $|-7| = 7$ und $|7| = 7$.
- $-7$ und $7$ sind Gegenzahlen – sie haben denselben Betrag, aber verschiedene Vorzeichen.
Addieren und Subtrahieren
Auf der Zahlengeraden bedeutet plus nach rechts gehen und minus nach links gehen.
Beispiel: $-3 + 7 = 4$
Starte bei $-3$ und gehe 7 Schritte nach rechts – Du landest bei 4.
Merke: Zwei Vorzeichen hintereinander
Treffen Rechenzeichen und Vorzeichen aufeinander, kannst Du sie zusammenfassen:
Gleiche Zeichen ergeben Plus, verschiedene Zeichen ergeben Minus.
Beispiele
Tipp: Schulden und Guthaben
Stell Dir negative Zahlen als Schulden vor: $-6 + (-2)$ heißt „6 € Schulden und noch 2 € Schulden dazu“ – das sind 8 € Schulden, also $-8$. Und $-(-9)$ heißt „9 € Schulden werden erlassen“ – das ist so gut wie 9 € geschenkt.
Multiplizieren und Dividieren
Merke: Vorzeichenregeln
| Vorzeichen | Ergebnis | Beispiel |
|---|---|---|
| plus mal plus | plus | $4 \cdot 3 = 12$ |
| minus mal minus | plus | $(-4) \cdot (-3) = 12$ |
| plus mal minus | minus | $4 \cdot (-3) = -12$ |
| minus mal plus | minus | $(-4) \cdot 3 = -12$ |
Für das Teilen gelten dieselben Regeln: $(-12) : (-3) = 4$ und $(-12) : 3 = -4$.
Rechne zuerst mit den Beträgen und bestimme dann das Vorzeichen. Bei mehreren Faktoren zählst Du die Minuszeichen: Bei einer geraden Anzahl ist das Ergebnis positiv, bei einer ungeraden negativ.
Typische Fehler
- „Minus mal Minus gibt Plus“ gilt nur für Mal und Geteilt – nicht für Plus: $-3 - 5 = -8$, nicht $+8$.
- $-3^2$ ist $-9$, aber $(-3)^2 = 9$. Ohne Klammer gehört das Quadrat nur zur 3.
Punkt vor Strich gilt weiterhin
Online üben
Stufe 2: Multiplizieren und Dividieren
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Aufgabe 1
\(-10 : 5\)\(-10 : 5 = -2\)
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Aufgabe 2
\(-56 : 7\)\(-56 : 7 = -8\)
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Aufgabe 3
\(-1 \cdot 1\)\(-1 \cdot 1 = -1\)
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Aufgabe 4
\(-2 \cdot 5\)\(-2 \cdot 5 = -10\)
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Aufgabe 5
\(-8 \cdot (-5)\)\(-8 \cdot (-5) = 40\)
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Aufgabe 6
\(-2 \cdot (-1)\)\(-2 \cdot (-1) = 2\)
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Aufgabe 7
\(-6 \cdot 7\)\(-6 \cdot 7 = -42\)
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Aufgabe 8
\(-55 : 5\)\(-55 : 5 = -11\)
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Aufgabe 9
\(-120 : (-12)\)\(-120 : (-12) = 10\)
Arbeitsblatt: Rechnen mit negativen Zahlen
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Weiterlesen: Ganze Zahl bei Wikipedia