Potenzen und Potenzgesetze
Eine Potenz ist eine Abkürzung für das Malnehmen gleicher Zahlen – so wie das Malnehmen eine Abkürzung für das Addieren gleicher Zahlen ist.
Was ist eine Potenz?
- Die untere Zahl heißt Basis (Grundzahl): Sie wird mit sich selbst malgenommen.
- Die obere Zahl heißt Exponent (Hochzahl): Er sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
- Man liest $2^5$: „zwei hoch fünf“.
Typischer Fehler
$2^5$ ist nicht $2 \cdot 5 = 10$, sondern $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$!
Quadratzahlen und Kubikzahlen
Mit dem Exponenten 2 entstehen die Quadratzahlen (Flächeninhalt eines Quadrats), mit dem Exponenten 3 die Kubikzahlen (Volumen eines Würfels).
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
| $n^3$ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1 000 | 1 331 | 1 728 |
Besondere Exponenten
Warum ist $a^0 = 1$? Schau Dir die Folge an: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$ – jedes Mal wird durch 2 geteilt. Der nächste Schritt ist $2^0 = 2 : 2 = 1$.
Potenzen mit negativer Basis
Ist die Basis negativ, entscheidet der Exponent über das Vorzeichen: gerader Exponent → positiv, ungerader Exponent → negativ.
Zehnerpotenzen und wissenschaftliche Schreibweise
Bei Zehnerpotenzen gibt der Exponent die Anzahl der Nullen an: $10^3 = 1000$, $10^6 = 1\,000\,000$. Sehr große Zahlen schreibt man deshalb kurz als Zahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz:
Negative Exponenten
Ein negativer Exponent bedeutet „1 geteilt durch“:
So schreibt man auch sehr kleine Zahlen: $0{,}000\,045 = 4{,}5 \cdot 10^{-5}$.
Die Potenzgesetze
Merke
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleiche Basis, malnehmen: Exponenten addieren | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $x^3 \cdot x^4 = x^7$ |
| Gleiche Basis, teilen: Exponenten subtrahieren | $a^m : a^n = a^{m-n}$ | $\frac{x^7}{x^3} = x^4$ |
| Potenz einer Potenz: Exponenten malnehmen | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(x^2)^4 = x^8$ |
| Gleicher Exponent, malnehmen | $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ | $2^3 \cdot 5^3 = 10^3$ |
| Gleicher Exponent, teilen | $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ | $\frac{6^2}{3^2} = 2^2 = 4$ |
Typische Fehler
- Bei Summen gibt es kein Potenzgesetz: $x^2 + x^3$ lässt sich nicht zusammenfassen, und $2^3 + 2^4 \neq 2^7$.
- $(a + b)^2$ ist nicht $a^2 + b^2$ – dafür brauchst Du die binomischen Formeln.
Potenzen in der Rechenreihenfolge
Potenzen werden vor Punkt- und Strichrechnung berechnet: $2 + 3 \cdot 4^2 = 2 + 3 \cdot 16 = 2 + 48 = 50$.
Online üben
Stufe 2: Potenzgesetze anwenden
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Aufgabe 1
\(4^{4} \cdot 5^{4}\)\(4^{4} \cdot 5^{4} = (4 \cdot 5)^{4} = 20^{4} = 160\,000\)
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Aufgabe 2
\(y^{4} \cdot y^{5}\)\(y^{4} \cdot y^{5} = y^{9}\)
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Aufgabe 3
\(\frac{b^{8}}{b^{5}}\)\(\frac{b^{8}}{b^{5}} = b^{3}\)
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Aufgabe 4
\(x^{9} \cdot x^{2}\)\(x^{9} \cdot x^{2} = x^{11}\)
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Aufgabe 5
\(b^{9} \cdot b^{2}\)\(b^{9} \cdot b^{2} = b^{11}\)
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Aufgabe 6
\((b^{2})^{2}\)\((b^{2})^{2} = b^{4}\)
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Aufgabe 7
\((z^{3})^{4}\)\((z^{3})^{4} = z^{12}\)
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Aufgabe 8
\(z^{4} \cdot z^{4}\)\(z^{4} \cdot z^{4} = z^{8}\)
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Aufgabe 9
\((y^{4})^{4}\)\((y^{4})^{4} = y^{16}\)
Arbeitsblatt: Potenzen
Bis zu 18 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5, 9–10.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen.
Weiterlesen: Potenz (Mathematik) bei Wikipedia