Wurzeln und Wurzelgesetze
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens: Die Wurzel aus 49 ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 49 ergibt – also 7.
Die Quadratwurzel
Merke
Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die nicht-negative Zahl, die mit sich selbst malgenommen $a$ ergibt:
Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand. Sie darf nicht negativ sein.
Beispiele
Achtung
Zwar gilt $(-7)^2 = 49$, trotzdem ist $\sqrt{49} = 7$ – die Wurzel ist immer positiv (oder 0). Die Gleichung $x^2 = 49$ hat aber zwei Lösungen: $x = 7$ und $x = -7$.
Quadratzahlen zum Merken
| $n$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
Irrationale Wurzeln
Ist der Radikand eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, hat die Wurzel unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode: $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ Solche Zahlen heißen irrational. Meist lässt man sie als Wurzel stehen oder rundet.
Tipp: Wurzeln abschätzen
$\sqrt{50}$ liegt zwischen $\sqrt{49} = 7$ und $\sqrt{64} = 8$ – und zwar ganz nah bei 7: $\sqrt{50} \approx 7{,}07$.
Kubikwurzel und n-te Wurzel
Die Kubikwurzel (3. Wurzel) fragt: Welche Zahl hoch 3 ergibt den Radikanden?
Bei ungeraden Wurzeln darf der Radikand negativ sein, bei geraden nicht.
Die Wurzelgesetze
Merke
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt | $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ | $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ |
| Quotient | $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ | $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5$ |
| Quadrat | $(\sqrt{a})^2 = a$ | $(\sqrt{7})^2 = 7$ |
Typischer Fehler
Bei Summen darfst Du die Wurzel nicht aufteilen: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
Teilweise Wurzelziehen
Steckt im Radikanden eine Quadratzahl als Faktor, ziehst Du aus ihr die Wurzel:
Die größte passende Quadratzahl findest Du über die Primfaktorzerlegung: $72 = 2^3 \cdot 3^2 = (2^2 \cdot 3^2) \cdot 2 = 36 \cdot 2$.
Umgekehrt kannst Du einen Faktor auch unter die Wurzel bringen: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
Wurzeln addieren
Gleiche Wurzeln fasst Du wie gleiche Variablen zusammen: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Manchmal musst Du vorher teilweise Wurzel ziehen: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Nenner rational machen
Steht im Nenner eine Wurzel, erweitert man den Bruch mit dieser Wurzel:
Wurzeln als Potenzen
Ab Klasse 10 schreibt man Wurzeln oft als Potenzen mit Bruch im Exponenten. Für $a \geq 0$ gelten dann alle Potenzgesetze:
Online üben
Stufe 3: Kubikwurzeln und Wurzelgesetze
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Aufgabe 1
\(\sqrt{28} \cdot \sqrt{28}\)\(\sqrt{28} \cdot \sqrt{28} = 28\)
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Aufgabe 2
\(\sqrt[3]{64}\)\(\sqrt[3]{64} = 4\)
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Aufgabe 3
\(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)\(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = 6\)
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Aufgabe 4
\(\sqrt[3]{27}\)\(\sqrt[3]{27} = 3\)
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Aufgabe 5
\(\sqrt{27} \cdot \sqrt{12}\)\(\sqrt{27} \cdot \sqrt{12} = 18\)
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Aufgabe 6
\(\sqrt[3]{1000}\)\(\sqrt[3]{1000} = 10\)
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Aufgabe 7
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\)\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 3\)
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Aufgabe 8
\(\sqrt[3]{8}\)\(\sqrt[3]{8} = 2\)
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Aufgabe 9
\(\sqrt[3]{125}\)\(\sqrt[3]{125} = 5\)
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Weiterlesen: Wurzel (Mathematik) bei Wikipedia