Folgen und Reihen
Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen $a_1, a_2, a_3, \ldots$ – wie $2, 4, 6, 8, \ldots$ Eine Reihe entsteht, wenn man die Glieder einer Folge nacheinander aufsummiert.
Explizit und rekursiv
Eine Folge kann man auf zwei Arten beschreiben:
- explizit: Eine Formel liefert jedes Glied direkt aus $n$, z. B. $a_n = 2n$. Damit ist $a_{100} = 200$ sofort berechnet.
- rekursiv: Man gibt das erste Glied an und eine Regel, wie das nächste aus dem vorherigen entsteht, z. B. $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2$.
Arithmetische Folgen
Merke
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz $d$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich:
Beispiel
$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots$ hat $a_1 = 3$ und $d = 4$. Das 20. Glied: $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$.
Geometrische Folgen
Merke
Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient $q$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich:
Beispiel
$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ \ldots$ hat $a_1 = 5$ und $q = 2$. Das 10. Glied: $a_{10} = 5 \cdot 2^9 = 2560$. Geometrische Folgen beschreiben exponentielles Wachstum – z. B. Kapital mit Zinseszins.
Reihen – Summenformeln
Die Summe der ersten $n$ Glieder heißt $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$.
Arithmetische Reihe
Der junge Carl Friedrich Gauß soll so die Zahlen von 1 bis 100 addiert haben: Er bildete 50 Paare mit der Summe 101 – also $s_{100} = \frac{100}{2} \cdot (1 + 100) = 5050$.
Geometrische Reihe
Beispiel: $5 + 10 + 20 + \ldots + 2560 = 5 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 5115$.
Unendliche geometrische Reihe
Ist $|q| < 1$, werden die Glieder immer kleiner und $q^n$ geht gegen 0. Dann hat auch die Summe aller Glieder einen endlichen Wert:
Beispiel
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$. Auch periodische Dezimalzahlen lassen sich so umwandeln: $0{,}\overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \ldots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{3}$.
Monotonie, Beschränktheit und Grenzwert
- Eine Folge heißt monoton steigend, wenn $a_{n+1} \ge a_n$ für alle $n$ gilt (fallend entsprechend mit $\le$).
- Sie heißt beschränkt, wenn alle Glieder zwischen zwei festen Zahlen liegen.
- Nähern sich die Glieder immer mehr einer Zahl $g$, heißt $g$ Grenzwert: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$. Beispiel: $a_n = \frac{1}{n}$ hat den Grenzwert 0.
Tipp
Eine Folge, die monoton und beschränkt ist, hat immer einen Grenzwert (Monotoniekriterium).
Mit dem Folgen-Rechner kannst Du Glieder, Summen und Grenzwerte berechnen oder eine Folge aus ein paar Zahlen erkennen lassen.
Übungsaufgaben
Stufe 1: arithmetische Folgen
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Aufgabe 1
\(a_1 = 5,\ d = 1:\quad a_{11} = \ ?,\ \ s_{11} = \ ?\)\(a_{11} = 5 + 10 \cdot 1 = 15,\quad s_{11} = \frac{11}{2} \cdot (5 + 15) = 110\)
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Aufgabe 2
\(a_1 = 4,\ d = -4:\quad a_{35} = \ ?,\ \ s_{35} = \ ?\)\(a_{35} = 4 + 34 \cdot (-4) = -132,\quad s_{35} = \frac{35}{2} \cdot (4 + (-132)) = -2240\)
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Aufgabe 3
\(a_1 = 9,\ d = -5:\quad a_{18} = \ ?,\ \ s_{18} = \ ?\)\(a_{18} = 9 + 17 \cdot (-5) = -76,\quad s_{18} = \frac{18}{2} \cdot (9 + (-76)) = -603\)
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Aufgabe 4
\(a_1 = -8,\ d = -6:\quad a_{12} = \ ?,\ \ s_{12} = \ ?\)\(a_{12} = -8 + 11 \cdot (-6) = -74,\quad s_{12} = \frac{12}{2} \cdot (-8 + (-74)) = -492\)
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Aufgabe 5
\(a_1 = 3,\ d = 4:\quad a_{15} = \ ?,\ \ s_{15} = \ ?\)\(a_{15} = 3 + 14 \cdot 4 = 59,\quad s_{15} = \frac{15}{2} \cdot (3 + 59) = 465\)
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Aufgabe 6
\(a_1 = -7,\ d = 7:\quad a_{34} = \ ?,\ \ s_{34} = \ ?\)\(a_{34} = -7 + 33 \cdot 7 = 224,\quad s_{34} = \frac{34}{2} \cdot (-7 + 224) = 3689\)
Arbeitsblatt: Folgen und Reihen
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