Satz von Vieta
Der Satz von Vieta verrät, wie die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit $p$ und $q$ zusammenhängen. Damit kannst Du einfache Gleichungen im Kopf lösen, Ergebnisse der pq-Formel blitzschnell prüfen und Gleichungen aus ihren Lösungen aufstellen.
Der Satz
Merke
Hat die Gleichung $x^2 + px + q = 0$ die Lösungen $x_1$ und $x_2$, dann gilt:
Gleichwertig: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$.
Warum? Multipliziert man $(x - x_1)(x - x_2)$ aus, erhält man $x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 x_2$. Ein Koeffizientenvergleich mit $x^2 + px + q$ liefert genau die beiden Gleichungen.
Lösungen im Kopf finden
Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt $q$ und deren Summe $-p$ ist. Am besten geht man die Zerlegungen von $q$ durch:
Beispiel
$x^2 - 7x + 10 = 0$: Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt $10$ und Summe $7$.
| Zerlegung von 10 | Summe |
|---|---|
| $1 \cdot 10$ | $11$ |
| $2 \cdot 5$ | $7$ ✓ |
Also $x_1 = 2$ und $x_2 = 5$, und $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.
Tipp: Vorzeichen
- $q > 0$: Beide Lösungen haben dasselbe Vorzeichen – das von $-p$.
- $q < 0$: Die Lösungen haben verschiedene Vorzeichen.
Beispiel $x^2 + 2x - 15 = 0$: Produkt $-15$, Summe $-2$ → $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.
Probe mit Vieta
Nach der pq-Formel kannst Du ohne Einsetzen prüfen: Für $x^2 + 6x + 8 = 0$ liefert die pq-Formel $x_1 = -2$ und $x_2 = -4$. Probe: $-2 + (-4) = -6 = -p$ ✓ und $(-2) \cdot (-4) = 8 = q$ ✓.
Gleichung aus den Lösungen aufstellen
Beispiel
Gesucht ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $x_1 = 3$ und $x_2 = -4$:
Wenn vor x² keine 1 steht
Für $ax^2 + bx + c = 0$ teilt man zuerst durch $a$ (Normalform). Der Satz lautet dann:
Achtung
Vieta hilft beim Raten vor allem bei ganzzahligen Lösungen. Sind die Lösungen Brüche oder Wurzeln, ist die pq-Formel oder abc-Formel schneller. Mit dem Rechner kannst Du jede Gleichung kontrollieren.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Gleichung aus den Lösungen aufstellen
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Aufgabe 1
\(x_1 = -8,\ x_2 = 0\)\(x_1 = -8,\ x_2 = 0:\quad p = -(-8 + 0) = 8,\ q = 0\quad\Rightarrow\quad x^{2} + 8x = 0\)
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Aufgabe 2
\(x_1 = -9,\ x_2 = -8\)\(x_1 = -9,\ x_2 = -8:\quad p = -(-9 + (-8)) = 17,\ q = 72\quad\Rightarrow\quad x^{2} + 17x + 72 = 0\)
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Aufgabe 3
\(x_1 = 0,\ x_2 = 4\)\(x_1 = 0,\ x_2 = 4:\quad p = -(0 + 4) = -4,\ q = 0\quad\Rightarrow\quad x^{2} - 4x = 0\)
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Aufgabe 4
\(x_1 = -6,\ x_2 = 2\)\(x_1 = -6,\ x_2 = 2:\quad p = -(-6 + 2) = 4,\ q = -12\quad\Rightarrow\quad x^{2} + 4x - 12 = 0\)
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Aufgabe 5
\(x_1 = 6,\ x_2 = 9\)\(x_1 = 6,\ x_2 = 9:\quad p = -(6 + 9) = -15,\ q = 54\quad\Rightarrow\quad x^{2} - 15x + 54 = 0\)
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Aufgabe 6
\(x_1 = -2,\ x_2 = 2\)\(x_1 = -2,\ x_2 = 2:\quad p = -(-2 + 2) = 0,\ q = -4\quad\Rightarrow\quad x^{2} - 4 = 0\)
Arbeitsblatt: Satz von Vieta
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Weiterlesen: Satz von Vieta bei Wikipedia