Folgen und Reihen
Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen $a_1, a_2, a_3, \ldots$ – wie $2, 4, 6, 8, \ldots$ Eine Reihe entsteht, wenn man die Glieder einer Folge nacheinander aufsummiert.
Explizit und rekursiv
Eine Folge kann man auf zwei Arten beschreiben:
- explizit: Eine Formel liefert jedes Glied direkt aus $n$, z. B. $a_n = 2n$. Damit ist $a_{100} = 200$ sofort berechnet.
- rekursiv: Man gibt das erste Glied an und eine Regel, wie das nächste aus dem vorherigen entsteht, z. B. $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2$.
Arithmetische Folgen
Merke
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz $d$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich:
Beispiel
$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots$ hat $a_1 = 3$ und $d = 4$. Das 20. Glied: $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$.
Geometrische Folgen
Merke
Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient $q$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich:
Beispiel
$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ \ldots$ hat $a_1 = 5$ und $q = 2$. Das 10. Glied: $a_{10} = 5 \cdot 2^9 = 2560$. Geometrische Folgen beschreiben exponentielles Wachstum – z. B. Kapital mit Zinseszins.
Reihen – Summenformeln
Die Summe der ersten $n$ Glieder heißt $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$.
Arithmetische Reihe
Der junge Carl Friedrich Gauß soll so die Zahlen von 1 bis 100 addiert haben: Er bildete 50 Paare mit der Summe 101 – also $s_{100} = \frac{100}{2} \cdot (1 + 100) = 5050$.
Geometrische Reihe
Beispiel: $5 + 10 + 20 + \ldots + 2560 = 5 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 5115$.
Unendliche geometrische Reihe
Ist $|q| < 1$, werden die Glieder immer kleiner und $q^n$ geht gegen 0. Dann hat auch die Summe aller Glieder einen endlichen Wert:
Beispiel
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$. Auch periodische Dezimalzahlen lassen sich so umwandeln: $0{,}\overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \ldots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{3}$.
Monotonie, Beschränktheit und Grenzwert
- Eine Folge heißt monoton steigend, wenn $a_{n+1} \ge a_n$ für alle $n$ gilt (fallend entsprechend mit $\le$).
- Sie heißt beschränkt, wenn alle Glieder zwischen zwei festen Zahlen liegen.
- Nähern sich die Glieder immer mehr einer Zahl $g$, heißt $g$ Grenzwert: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$. Beispiel: $a_n = \frac{1}{n}$ hat den Grenzwert 0.
Tipp
Eine Folge, die monoton und beschränkt ist, hat immer einen Grenzwert (Monotoniekriterium).
Mit dem Folgen-Rechner kannst Du Glieder, Summen und Grenzwerte berechnen oder eine Folge aus ein paar Zahlen erkennen lassen.
Übungsaufgaben
Stufe 2: geometrische Folgen
-
Aufgabe 1
\(a_1 = 1,\ q = -2:\quad a_{5} = \ ?,\ \ s_{5} = \ ?\)\(a_{5} = 1 \cdot (-2)^{4} = 16,\quad s_{5} = 1 \cdot \frac{(-2)^{5} - 1}{-2 - 1} = 11\)
-
Aufgabe 2
\(a_1 = 3,\ q = 3:\quad a_{4} = \ ?,\ \ s_{4} = \ ?\)\(a_{4} = 3 \cdot 3^{3} = 81,\quad s_{4} = 3 \cdot \frac{3^{4} - 1}{3 - 1} = 120\)
-
Aufgabe 3
\(a_1 = 4,\ q = -2:\quad a_{5} = \ ?,\ \ s_{5} = \ ?\)\(a_{5} = 4 \cdot (-2)^{4} = 64,\quad s_{5} = 4 \cdot \frac{(-2)^{5} - 1}{-2 - 1} = 44\)
-
Aufgabe 4
\(a_1 = 1,\ q = 2:\quad a_{6} = \ ?,\ \ s_{6} = \ ?\)\(a_{6} = 1 \cdot 2^{5} = 32,\quad s_{6} = 1 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 63\)
-
Aufgabe 5
\(a_1 = 1,\ q = 3:\quad a_{7} = \ ?,\ \ s_{7} = \ ?\)\(a_{7} = 1 \cdot 3^{6} = 729,\quad s_{7} = 1 \cdot \frac{3^{7} - 1}{3 - 1} = 1093\)
-
Aufgabe 6
\(a_1 = 2,\ q = 3:\quad a_{6} = \ ?,\ \ s_{6} = \ ?\)\(a_{6} = 2 \cdot 3^{5} = 486,\quad s_{6} = 2 \cdot \frac{3^{6} - 1}{3 - 1} = 728\)
Arbeitsblatt: Folgen und Reihen
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11.
Weiterlesen: Folge (Mathematik) bei Wikipedia