Polynomdivision-Rechner
Teile ein Polynom durch ein anderes – der Rechner zeigt jeden Teilschritt und die schriftliche Rechnung wie im Heft. Oder lass Dir alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnen: Nullstelle raten, Linearfaktor abspalten, pq-Formel.
Ergebnis
Nullstellen von $f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4$:
Rechenweg
Gleichung aufstellen
Nullstellen sind die x-Werte, für die der Funktionswert 0 ist:
\[f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0\]Nullstelle raten
Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des Absolutglieds. Probiere sie der Reihe nach aus (erst kleine Zahlen):
\[f(1) = 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 4 = 0 \quad \checkmark\]Polynomdivision durch $(x - 1)$
Weil $x = 1$ eine Nullstelle ist, lässt sich der Linearfaktor $(x - 1)$ ohne Rest abspalten:
\[x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x - 1) \cdot \left(x^{3} + x^{2} - 4x - 4\right)\]\((x^{4}\) \(- 5x^{2}\) \(+ 4\) \()\) \(:\ (x - 1) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4\) \(-\big(\) \(x^{4}\) \(- x^{3}\) \(\big)\) \(x^{3}\) \(- 5x^{2}\) \(-\big(\) \(x^{3}\) \(- x^{2}\) \(\big)\) \(-4x^{2}\) \(-\big(\) \(-4x^{2}\) \(+ 4x\) \(\big)\) \(-4x\) \(+ 4\) \(-\big(\) \(-4x\) \(+ 4\) \(\big)\) \(0\) Nullstelle raten
Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des Absolutglieds. Probiere sie der Reihe nach aus (erst kleine Zahlen):
\[h(1) = -6 \neq 0\]\[h(-1) = \left(-1\right)^{3} + \left(-1\right)^{2} - 4 \cdot \left(-1\right) - 4 = 0 \quad \checkmark\]Polynomdivision durch $(x + 1)$
Weil $x = -1$ eine Nullstelle ist, lässt sich der Linearfaktor $(x + 1)$ ohne Rest abspalten:
\[x^{3} + x^{2} - 4x - 4 = (x + 1) \cdot \left(x^{2} - 4\right)\]\((x^{3}\) \(+ x^{2}\) \(- 4x\) \(- 4\) \()\) \(:\ (x + 1) = x^{2} - 4\) \(-\big(\) \(x^{3}\) \(+ x^{2}\) \(\big)\) \(-4x\) \(-\big(\) \(-4x\) \(- 4\) \(\big)\) \(0\) Restliche quadratische Gleichung (pq-Formel)
Die übrigen Nullstellen liefert die pq-Formel:
\[x^{2} - 4 = 0 \qquad p = 0,\; q = -4\]\[x_{1,2} = \pm \sqrt{0^{2} - \left(-4\right)} = \pm \sqrt{4}\]\[x_{1,2} = 0 \pm 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2 \;\text{ und }\; x = -2\]
Graph
So funktioniert die Polynomdivision
Die Polynomdivision läuft ab wie die schriftliche Division mit Zahlen. In jedem Teilschritt wiederholst Du drei Dinge:
- Teilen: den ersten Summanden des (Rest-)Polynoms durch den ersten Summanden des Divisors teilen – das ist der nächste Summand des Ergebnisses.
- Zurückmultiplizieren: diesen Summanden mit dem ganzen Divisor multiplizieren.
- Abziehen: das Produkt abziehen (Klammer und Vorzeichen beachten!) und den nächsten Summanden herunterholen.
Das wiederholst Du, bis der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor. Ausführlich mit Beispielen erklärt es die Seite Polynomdivision.