Polynomdivision
Mit der Polynomdivision teilst Du ein Polynom durch ein anderes – genauso wie bei der schriftlichen Division von Zahlen. Gebraucht wird sie vor allem, um Nullstellen von Funktionen 3. und 4. Grades zu finden.
Das Verfahren in drei Schritten
Merke
Wiederhole, bis der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor:
- Teilen: Den höchsten Summanden des Dividenden durch den höchsten Summanden des Divisors teilen – das ergibt den nächsten Summanden des Ergebnisses.
- Zurückmultiplizieren: Diesen Summanden mit dem ganzen Divisor multiplizieren und darunter schreiben.
- Abziehen: Subtrahieren (Vorzeichen beachten!) und den nächsten Summanden „herunterholen“.
Beispiel ohne Rest
Berechne $\left(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\right) : (x - 1)$.
| \((x^{3}\) | \(- 2x^{2}\) | \(- 5x\) | \(+ 6\) | \()\) | \(:\ (x - 1) = x^{2} - x - 6\) | |
| \(-\big(\) | \(x^{3}\) | \(- x^{2}\) | \(\big)\) | |||
| \(-x^{2}\) | \(- 5x\) | |||||
| \(-\big(\) | \(-x^{2}\) | \(+ x\) | \(\big)\) | |||
| \(-6x\) | \(+ 6\) | |||||
| \(-\big(\) | \(-6x\) | \(+ 6\) | \(\big)\) | |||
| \(0\) |
- $x^3 : x = x^2$ → zurückmultiplizieren: $x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$ → abziehen: $-x^2 - 5x$
- $-x^2 : x = -x$ → $-x \cdot (x - 1) = -x^2 + x$ → abziehen: $-6x + 6$
- $-6x : x = -6$ → $-6 \cdot (x - 1) = -6x + 6$ → abziehen: $0$
Ergebnis: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)\left(x^2 - x - 6\right)$
Achtung
Fehlt im Dividenden eine Potenz von $x$, schreibe sie mit dem Faktor 0 hin (z. B. $x^3 + 0x^2 + 2x + 5$) – sonst verrutschen die Spalten. Der häufigste Fehler ist das Abziehen: Die ganze Klammer wird subtrahiert, also drehen sich alle Vorzeichen um.
Polynomdivision mit Rest
Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Er wird – wie bei Zahlen – als Bruch mit dem Divisor im Nenner angehängt.
Beispiel mit Rest
Berechne $\left(x^3 + 2x + 5\right) : (x - 2)$.
| \((x^{3}\) | \(+ 2x\) | \(+ 5\) | \()\) | \(:\ (x - 2) = x^{2} + 2x + 6 + \frac{17}{x - 2}\) | ||
| \(-\big(\) | \(x^{3}\) | \(- 2x^{2}\) | \(\big)\) | |||
| \(2x^{2}\) | \(+ 2x\) | |||||
| \(-\big(\) | \(2x^{2}\) | \(- 4x\) | \(\big)\) | |||
| \(6x\) | \(+ 5\) | |||||
| \(-\big(\) | \(6x\) | \(- 12\) | \(\big)\) | |||
| \(17\) |
Tipp: Restsatz
Beim Teilen durch $(x - a)$ ist der Rest immer genau $f(a)$. Im Beispiel: $f(2) = 8 + 4 + 5 = 17$. Daraus folgt: Die Division durch $(x - a)$ geht genau dann auf, wenn $a$ eine Nullstelle ist.
Nullstellen mit Polynomdivision bestimmen
Für Funktionen 3. Grades gibt es keine einfache Lösungsformel. Das Standardverfahren in der Schule:
- Eine Nullstelle raten. Hat das Polynom ganzzahlige Koeffizienten und den Leitkoeffizienten 1, sind ganzzahlige Nullstellen Teiler des Absolutglieds. Probiere $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ durch Einsetzen.
- Linearfaktor abspalten: Ist $x_1$ eine Nullstelle, teile $f(x)$ durch $(x - x_1)$.
- Restliche quadratische Gleichung lösen – mit der pq-Formel oder abc-Formel.
Beispiel
$f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. Teiler von 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Probe: $f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓
Polynomdivision (siehe oben): $f(x) = (x - 1)\left(x^2 - x - 6\right)$.
pq-Formel für $x^2 - x - 6 = 0$: $x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} = \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2}$, also $x = 3$ und $x = -2$.
Tipp
Fehlt das Absolutglied (z. B. $x^3 - 4x$), brauchst Du keine Polynomdivision: einfach $x$ ausklammern. Bei $x^4 - 5x^2 + 4$ hilft die Substitution $z = x^2$.
Mit dem Polynomdivision-Rechner kannst Du Deine Lösung Schritt für Schritt kontrollieren – er rät auch Nullstellen und zerlegt die Funktion in Linearfaktoren. Weiter geht es mit der Kurvendiskussion.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Division durch (x − a) ohne Rest
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Aufgabe 1
\(\left(2x^{3} - 7x^{2} + 2x + 3\right) : \left(x - 1\right)\)\(\left(2x^{3} - 7x^{2} + 2x + 3\right) : \left(x - 1\right) = 2x^{2} - 5x - 3\)
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Aufgabe 2
\(\left(x^{3} + 2x^{2} + 4x + 8\right) : \left(x + 2\right)\)\(\left(x^{3} + 2x^{2} + 4x + 8\right) : \left(x + 2\right) = x^{2} + 4\)
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Aufgabe 3
\(\left(2x^{3} + 2x^{2} - 6x + 18\right) : \left(x + 3\right)\)\(\left(2x^{3} + 2x^{2} - 6x + 18\right) : \left(x + 3\right) = 2x^{2} - 4x + 6\)
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Aufgabe 4
\(\left(x^{3} - x^{2} - 9x - 12\right) : \left(x - 4\right)\)\(\left(x^{3} - x^{2} - 9x - 12\right) : \left(x - 4\right) = x^{2} + 3x + 3\)
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Aufgabe 5
\(\left(x^{3} + 3x^{2} - 2x + 8\right) : \left(x + 4\right)\)\(\left(x^{3} + 3x^{2} - 2x + 8\right) : \left(x + 4\right) = x^{2} - x + 2\)
-
Aufgabe 6
\(\left(2x^{3} + 2x^{2} - x - 1\right) : \left(x + 1\right)\)\(\left(2x^{3} + 2x^{2} - x - 1\right) : \left(x + 1\right) = 2x^{2} - 1\)
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