Bedingte Wahrscheinlichkeit
Oft weiß man schon etwas über das Ergebnis eines Zufallsversuchs – zum Beispiel, dass ein Test positiv ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis unter dieser Bedingung ist. Die wichtigsten Werkzeuge dafür sind die Vierfeldertafel und das Baumdiagramm.
Die Vierfeldertafel
Untersucht man zwei Merkmale A und B gleichzeitig, gibt es vier Kombinationen. Beispiel: In einer Schule mit 200 Schülerinnen und Schülern sind 120 Mädchen (A), 80 tragen eine Brille (B), und 50 Mädchen tragen eine Brille.
| \(B\) | \(\overline{B}\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(50\) | \(70\) | \(120\) |
| \(\overline{A}\) | \(30\) | \(50\) | \(80\) |
| Summe | \(80\) | \(120\) | \(200\) |
Die gelb markierten Werte waren gegeben. Der Rest ergibt sich, weil in jeder Zeile und Spalte die inneren Felder zusammen die Randsumme ergeben: $120 - 50 = 70$, $80 - 50 = 30$ usw.
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Merke
Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist der Anteil von $A \cap B$ an A:
Umgestellt ergibt sich die Pfadregel: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$.
Beispiel
Wie wahrscheinlich trägt ein zufällig gewähltes Mädchen eine Brille? Die Bedingung „Mädchen“ schränkt die Grundmenge auf 120 ein:
Umgekehrt: Wie wahrscheinlich ist eine Person mit Brille ein Mädchen? $P_B(A) = \frac{50}{80} = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%$.
Achtung
$P_A(B)$ und $P_B(A)$ sind fast immer verschieden! Entscheidend ist, wodurch man teilt – die Bedingung steht immer im Nenner.
Baumdiagramm und umgekehrter Baum
Im Baumdiagramm stehen auf der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Vierfeldertafel passt zu zwei Bäumen – je nachdem, mit welchem Merkmal man beginnt:
Zuerst A (Mädchen), dann B (Brille)
Zuerst B, dann A
Am Ende jedes Pfades steht dieselbe Zahl wie im passenden Feld der Vierfeldertafel (bezogen auf die Gesamtzahl), z. B. $P(A \cap B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{4} = \frac{50}{200}$.
Satz von Bayes – das Test-Beispiel
Eine Krankheit K tritt bei 1 % der Bevölkerung auf. Ein Test erkennt sie in 95 % der Fälle (T: Test positiv), schlägt aber auch bei 10 % der Gesunden falsch an. Wie wahrscheinlich ist man krank, wenn der Test positiv ist?
| \(B\) | \(\overline{B}\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(0{,}0095\) | \(0{,}0005\) | \(0{,}01\) |
| \(\overline{A}\) | \(0{,}099\) | \(0{,}891\) | \(0{,}99\) |
| Summe | \(0{,}1085\) | \(0{,}8915\) | \(1\) |
Obwohl der Test 95 % der Kranken erkennt, ist nur gut jede elfte Person mit positivem Test wirklich krank – weil es viel mehr Gesunde gibt, bei denen der Test falsch anschlägt. Diese Umkehrung der Bedingung heißt Satz von Bayes:
Stochastische Unabhängigkeit
Merke
A und B heißen unabhängig, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit von B nicht verändert, also $P_A(B) = P(B)$. Gleichwertig:
Im Schulbeispiel ist $P(A) \cdot P(B) = \frac{120}{200} \cdot \frac{80}{200} = 0{,}24$, aber $P(A \cap B) = \frac{50}{200} = 0{,}25$. Brille und Geschlecht sind hier also (knapp) abhängig.
Mit dem Vierfeldertafel-Rechner kannst Du jede Tafel aus drei Angaben ausfüllen lassen – inklusive aller bedingten Wahrscheinlichkeiten und beider Baumdiagramme.
Übungsaufgaben
Stufe 3: Unabhängigkeit prüfen
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Aufgabe 1
\(P(A) = 0{,}5,\ P(B) = 0{,}6,\ P(A \cap B) = 0{,}28:\quad \text{Sind A und B unabhängig?}\)\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}3 \neq 0{,}28\ \Rightarrow\ \text{abhängig}\)
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Aufgabe 2
\(P(A) = 0{,}7,\ P(B) = 0{,}4,\ P(A \cap B) = 0{,}28:\quad \text{Sind A und B unabhängig?}\)\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}28 = 0{,}28\ \Rightarrow\ \text{unabhängig}\)
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Aufgabe 3
\(P(A) = 0{,}7,\ P(B) = 0{,}5,\ P(A \cap B) = 0{,}35:\quad \text{Sind A und B unabhängig?}\)\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}35 = 0{,}35\ \Rightarrow\ \text{unabhängig}\)
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Aufgabe 4
\(P(A) = 0{,}6,\ P(B) = 0{,}6,\ P(A \cap B) = 0{,}36:\quad \text{Sind A und B unabhängig?}\)\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}36 = 0{,}36\ \Rightarrow\ \text{unabhängig}\)
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Aufgabe 5
\(P(A) = 0{,}5,\ P(B) = 0{,}5,\ P(A \cap B) = 0{,}23:\quad \text{Sind A und B unabhängig?}\)\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}25 \neq 0{,}23\ \Rightarrow\ \text{abhängig}\)
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Aufgabe 6
\(P(A) = 0{,}5,\ P(B) = 0{,}2,\ P(A \cap B) = 0{,}09:\quad \text{Sind A und B unabhängig?}\)\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}1 \neq 0{,}09\ \Rightarrow\ \text{abhängig}\)
Arbeitsblatt: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel
Bis zu 6 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Weiterlesen: Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Wikipedia