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Normalverteilung

Körpergrößen, Messfehler oder Füllmengen streuen oft glockenförmig um einen Mittelwert: Werte nahe am Mittel sind häufig, extreme Werte selten. Diese Verteilung heißt Normalverteilung oder Gauß-Verteilung.

Zum Normalverteilung-Rechner

Die Glockenkurve

Eine Normalverteilung wird durch zwei Zahlen festgelegt: den Erwartungswert $\mu$ (Lage des Maximums) und die Standardabweichung $\sigma$ (Breite der Glocke). Man schreibt $X \sim N(\mu;\,\sigma^2)$.

406080100120140160xy85115μ

Die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ist die Fläche unter der Kurve – im Bild $P(85 \le X \le 115) \approx 68{,}3\,\%$ bei $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ (IQ-Werte). Die Gesamtfläche ist 1.

Dichtefunktion

\[\varphi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}\]

Die Kurve ist symmetrisch zu $x = \mu$ und hat ihre Wendestellen bei $\mu \pm \sigma$.

Standardisierung und Φ

Die Fläche lässt sich nicht mit einer einfachen Stammfunktion berechnen. Deshalb rechnet man jede Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung ($\mu = 0$, $\sigma = 1$) um, deren Werte $\Phi(z)$ in einer Tabelle stehen oder vom Taschenrechner (normalcdf) geliefert werden.

Merke

\[z = \frac{x - \mu}{\sigma} \qquad P(X \le x) = \Phi(z)\]
  • $P(X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right)$
  • $P(X \ge a) = 1 - \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$
  • $P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$
  • Negative z-Werte: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$

Beispiel

Eine Maschine füllt Packungen mit $\mu = 500\,\text{g}$ und $\sigma = 4\,\text{g}$. Wie viele Packungen wiegen höchstens 495 g?

\[z = \frac{495 - 500}{4} = -1{,}25 \qquad P(X \le 495) = \Phi(-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\]

Etwa 10,6 % der Packungen sind zu leicht.

Sigma-Regeln

BereichWahrscheinlichkeit
$\mu \pm 1\sigma$$\approx 68{,}3\,\%$
$\mu \pm 2\sigma$$\approx 95{,}4\,\%$
$\mu \pm 3\sigma$$\approx 99{,}7\,\%$
$\mu \pm 1{,}64\sigma$$\approx 90\,\%$
$\mu \pm 1{,}96\sigma$$\approx 95\,\%$
$\mu \pm 2{,}58\sigma$$\approx 99\,\%$

Tipp

Eine Binomialverteilung mit großem $n$ sieht fast aus wie eine Normalverteilung mit $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$. Faustregel: Die Näherung ist gut, wenn $\sigma > 3$ ist (Laplace-Bedingung). Mehr zur Binomialverteilung.

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Tabelle der Standardnormalverteilung Φ(z)

Zeile: z bis zur ersten Nachkommastelle, Spalte: zweite Nachkommastelle. Beispiel: $\Phi(1{,}25)$ steht in Zeile 1,2 und Spalte 0,05.

z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998

Ohne Tabelle geht es mit dem Normalverteilung-Rechner – er rechnet auch Quantile und σ-Umgebungen.

Übungsaufgaben

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 3: P(a ≤ X ≤ b)

  1. Aufgabe 1
    \(\mu = 500,\ \sigma = 2:\quad P(496{,}5 \le X \le 499)\)
    \(\mu = 500,\ \sigma = 2:\quad P(496{,}5 \le X \le 499) = \Phi(-0{,}5) - \Phi(-1{,}75) \approx 0{,}2685\)
  2. Aufgabe 2
    \(\mu = 100,\ \sigma = 8:\quad P(86 \le X \le 96)\)
    \(\mu = 100,\ \sigma = 8:\quad P(86 \le X \le 96) = \Phi(-0{,}5) - \Phi(-1{,}75) \approx 0{,}2685\)
  3. Aufgabe 3
    \(\mu = 170,\ \sigma = 5:\quad P(165 \le X \le 172{,}5)\)
    \(\mu = 170,\ \sigma = 5:\quad P(165 \le X \le 172{,}5) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-1) \approx 0{,}5328\)
  4. Aufgabe 4
    \(\mu = 20,\ \sigma = 5:\quad P(18{,}75 \le X \le 21{,}25)\)
    \(\mu = 20,\ \sigma = 5:\quad P(18{,}75 \le X \le 21{,}25) = \Phi(0{,}25) - \Phi(-0{,}25) \approx 0{,}1974\)
  5. Aufgabe 5
    \(\mu = 250,\ \sigma = 4:\quad P(251 \le X \le 253)\)
    \(\mu = 250,\ \sigma = 4:\quad P(251 \le X \le 253) = \Phi(0{,}75) - \Phi(0{,}25) \approx 0{,}1747\)
  6. Aufgabe 6
    \(\mu = 170,\ \sigma = 4:\quad P(162 \le X \le 164)\)
    \(\mu = 170,\ \sigma = 4:\quad P(162 \le X \le 164) = \Phi(-1{,}5) - \Phi(-2) \approx 0{,}0441\)

Arbeitsblatt: Normalverteilung

Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.

Weiterlesen: Normalverteilung bei Wikipedia

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