Logarithmus
Beim Potenzieren fragt man: Was kommt heraus? ($2^5 = ?$). Beim Logarithmus fragt man umgekehrt: Welche Hochzahl brauche ich? ($2^{?} = 32$). Der Logarithmus ist also die Umkehrung des Potenzierens.
Definition
Merke
Der Logarithmus von $x$ zur Basis $b$ ist die Hochzahl, mit der man $b$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten:
Dabei muss gelten: $b > 0$, $b \neq 1$ und $x > 0$. Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 gibt es nicht.
Beispiele
- $\log_2(8) = 3$, weil $2^3 = 8$
- $\log_3(81) = 4$, weil $3^4 = 81$
- $\log_{10}(0{,}01) = -2$, weil $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$
- $\log_4(2) = \frac{1}{2}$, weil $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
- $\log_5(1) = 0$, weil $5^0 = 1$ – das gilt für jede Basis.
Besondere Logarithmen: lg und ln
| Name | Schreibweise | Basis | Taschenrechner |
|---|---|---|---|
| Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus) | $\lg(x) = \log_{10}(x)$ | $10$ | Taste log |
| Natürlicher Logarithmus | $\ln(x) = \log_{e}(x)$ | $e \approx 2{,}718$ | Taste ln |
| Zweierlogarithmus (Informatik) | $\log_2(x)$, auch $\operatorname{ld}(x)$ | $2$ | über Basiswechsel |
Logarithmusgesetze
Die Logarithmusgesetze folgen direkt aus den Potenzgesetzen. Sie gelten für jede erlaubte Basis $b$ und positive Zahlen $u, v$:
Beispiel
$\log_2(4) + \log_2(8) = \log_2(4 \cdot 8) = \log_2(32) = 5$ – zur Kontrolle: $2 + 3 = 5$ ✓
$\lg(1000^2) = 2 \cdot \lg(1000) = 2 \cdot 3 = 6$
Achtung
Für Summen gibt es kein Gesetz: $\log_b(u + v)$ ist nicht $\log_b(u) + \log_b(v)$.
Basiswechsel – jeden Logarithmus mit dem Taschenrechner
Viele Taschenrechner kennen nur lg und ln. Mit dem Basiswechselsatz berechnest Du trotzdem jeden Logarithmus:
Beispiel
$\log_3(20) = \dfrac{\ln(20)}{\ln(3)} \approx \dfrac{2{,}9957}{1{,}0986} \approx 2{,}727$. Probe: $3^{2{,}727} \approx 20$ ✓
Exponentialgleichungen lösen
Steht die Unbekannte im Exponenten, hilft der Logarithmus. Das Vorgehen:
- Die Potenz allein auf eine Seite bringen ($b^x = \ldots$).
- Beide Seiten logarithmieren: $x = \log_b(\ldots)$.
- Ausrechnen – exakt oder mit dem Basiswechsel.
Beispiel: Zinseszins
Nach wie vielen Jahren sind aus 500 € bei 5 % Zinsen 800 € geworden?
Nach knapp 10 Jahren ist das Guthaben auf 800 € angewachsen. Mehr dazu beim Zinsrechnen.
Tipp
Lassen sich beide Seiten als Potenz derselben Basis schreiben, geht es ohne Logarithmus: $2^x = 32 = 2^5$, also $x = 5$ (Exponentenvergleich).
Prüfe Deine Ergebnisse mit dem Logarithmus-Rechner – er rechnet exakt, wenn das Ergebnis aufgeht, und zeigt sonst den Basiswechsel.
Übungsaufgaben
Stufe 3: Exponentialgleichungen
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Aufgabe 1
\(4 \cdot 4^{x} = 16\)\(4 \cdot 4^{x} = 16\quad\Rightarrow\quad x = 1\)
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Aufgabe 2
\(5 \cdot 4^{x} = 20\)\(5 \cdot 4^{x} = 20\quad\Rightarrow\quad x = 1\)
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Aufgabe 3
\(5 \cdot 2^{x} = 40\)\(5 \cdot 2^{x} = 40\quad\Rightarrow\quad x = 3\)
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Aufgabe 4
\(4 \cdot 3^{x} = 324\)\(4 \cdot 3^{x} = 324\quad\Rightarrow\quad x = 4\)
-
Aufgabe 5
\(3 \cdot 3^{x} = 243\)\(3 \cdot 3^{x} = 243\quad\Rightarrow\quad x = 4\)
-
Aufgabe 6
\(5^{x} = 5\)\(5^{x} = 5\quad\Rightarrow\quad x = 1\)
Arbeitsblatt: Logarithmus
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Weiterlesen: Logarithmus bei Wikipedia