Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = \frac{1 - \ln\left(x\right)}{x^{2}}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Bedingung: $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
Bedingung: $x^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Quotientenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\]Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Hier ist $u = 1 - \ln\left(x\right),\quad v = x^{2}$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[1 - \ln\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}\]Potenz einer Potenz Vereinfachen
Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
\[\left(x^{2}\right)^{2} \;\Rightarrow\; x^{2 \cdot 2}\]\[= \frac{\frac{d}{dx}{\left[1 - \ln\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 \cdot 2 \;\Rightarrow\; 4\]\[= \frac{\frac{d}{dx}{\left[1 - \ln\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = 1,\quad v = \ln\left(x\right)$.
\[\frac{d}{dx}{\left[1 - \ln\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)\,}}}\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Konstantenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c)=0\]Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Hier ist $c = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Rightarrow\; 0\]\[= \frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableiten
\[\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}\]Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.
\[\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x}\]\[= \frac{\left(0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\right)\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Subtraktion von 0 aus Vereinfachen
0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.
\[0 - \frac{1}{x} \;\Rightarrow\; -\frac{1}{x}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{x}\,}}}\,x^{2} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachen
Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
\[-\frac{1}{x}\,x^{2} \;\Rightarrow\; -\frac{x^{2}}{x}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{x^{2}}{x}\,}}} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachen
Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.
\[\frac{x^{2}}{x} \;\Rightarrow\; x^{2 - 1}\]\[= \frac{-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 - 1}\,}}} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{-x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= \frac{-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}\]Potenzregel (Spezialfall) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Hier ist $u = x,\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]\[= \frac{-x - \left(1 - \ln\left(x\right)\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{x^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{-x - \left(1 - \ln\left(x\right)\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}{x^{4}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= \frac{-x - \left(1 - \ln\left(x\right)\right) \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{x^{4}}\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[\left(1 - \ln\left(x\right)\right) \cdot 2\,x \;\Rightarrow\; 2\,x\,\left(1 - \ln\left(x\right)\right)\]\[= \frac{-x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\left(1 - \ln\left(x\right)\right)\,}}}}{x^{4}}\]Gemeinsamen Faktor ausklammern Vereinfachen
Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\left(-1 - 2\,\left(1 - \ln\left(x\right)\right)\right)}{x^{4}}\,}}}\]Ausmultiplizieren Vereinfachen
Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
\[-1 - 2\,\left(1 - \ln\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; -1 - 2 \cdot 1 + 2\,\ln\left(x\right)\]\[= \frac{x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1 - 2 \cdot 1 + 2\,\ln\left(x\right)\right)\,}}}}{x^{4}}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[2 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 2\]\[= \frac{x\,\left(-1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} + 2\,\ln\left(x\right)\right)}{x^{4}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[-1 - 2 \;\Rightarrow\; -3\]\[= \frac{x\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,}}} + 2\,\ln\left(x\right)\right)}{x^{4}}\]Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachen
Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{-3 + 2\,\ln\left(x\right)}{x^{4 - 1}}\,}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[4 - 1 \;\Rightarrow\; 3\]\[= \frac{-3 + 2\,\ln\left(x\right)}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.