Mathe-Formelsammlung

Hier stehen die wichtigsten Formeln – sortiert nach Klassenstufe und mit einem kurzen Satz, wann Du sie brauchst. Jede Formelsammlung kannst Du auch als PDF herunterladen und ausdrucken.

Formelsammlung Klasse 5 bis 7

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Rechengesetze

Vertauschungsgesetz	\(a + b = b + a \qquad a \cdot b = b \cdot a\)gilt nur bei Plus und Mal
Verbindungsgesetz	\((a + b) + c = a + (b + c)\)
Verteilungsgesetz	\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
Reihenfolge	\(\text{Klammer} \to \text{Potenz} \to \text{Punkt} \to \text{Strich}\)
Vorzeichenregeln	\((+) \cdot (-) = (-) \qquad (-) \cdot (-) = (+)\)gilt auch beim Teilen

Brüche

Erweitern	\(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}\)Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Kürzen	\(\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}\)am besten durch den ggT teilen
Addieren (gleicher Nenner)	\(\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}\)sonst erst gleichnamig machen
Multiplizieren	\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Dividieren	\(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\)mit dem Kehrwert malnehmen

Prozent und Zinsen

Prozentwert	\(W = G \cdot \frac{p}{100}\)G = Grundwert, p = Prozentsatz
Grundwert	\(G = \frac{W \cdot 100}{p}\)
Prozentsatz	\(p = \frac{W}{G} \cdot 100\)
Jahreszinsen	\(Z = K \cdot \frac{p}{100}\)K = Kapital
Tageszinsen	\(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\)t = Anzahl der Tage
Dreisatz (proportional)	\(\text{Gesamtwert} : \text{Menge} = \text{Wert für } 1\)dann mit der neuen Menge malnehmen

Flächen

Quadrat	\(A = a^{2} \qquad u = 4a\)
Rechteck	\(A = a \cdot b \qquad u = 2a + 2b\)
Dreieck	\(A = \frac{g \cdot h}{2}\)h steht senkrecht auf g
Parallelogramm	\(A = g \cdot h\)
Trapez	\(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\)a und c sind die parallelen Seiten

Körper

Würfel	\(V = a^{3} \qquad O = 6a^{2}\)
Quader	\(V = a \cdot b \cdot c \qquad O = 2(ab + ac + bc)\)

Einheiten

Längen (Faktor 10)	\(1\,\text{km} = 1000\,\text{m} \quad 1\,\text{m} = 10\,\text{dm} = 100\,\text{cm}\)
Flächen (Faktor 100)	\(1\,\text{m}^{2} = 100\,\text{dm}^{2} \quad 1\,\text{ha} = 100\,\text{a}\)
Volumen (Faktor 1000)	\(1\,\text{m}^{3} = 1000\,\text{dm}^{3} \quad 1\,\text{dm}^{3} = 1\,\text{l}\)
Gewicht (Faktor 1000)	\(1\,\text{t} = 1000\,\text{kg} \quad 1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\)
Zeit	\(1\,\text{h} = 60\,\text{min} \quad 1\,\text{min} = 60\,\text{s}\)

Daten

Mittelwert	\(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\)alle Werte addieren, durch die Anzahl teilen
Median	\(\text{mittlerer Wert der sortierten Liste}\)bei gerader Anzahl: Mittelwert der beiden mittleren

Formelsammlung Klasse 8 bis 10

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Terme

1. binomische Formel	\((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
2. binomische Formel	\((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
3. binomische Formel	\((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\)

Lineare Funktionen

Funktionsgleichung	\(f(x) = mx + b\)m = Steigung, b = y-Achsenabschnitt
Steigung	\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)aus zwei Punkten
Nullstelle	\(x_0 = -\frac{b}{m}\)

Quadratische Gleichungen

pq-Formel	\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}\)für x² + px + q = 0
abc-Formel	\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)für ax² + bx + c = 0
Satz von Vieta	\(x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q\)
Scheitelpunktform	\(f(x) = a(x - d)^{2} + e\)Scheitelpunkt S(d | e)

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

Potenzgesetze	\(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \qquad (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\)
Negative Hochzahl	\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\)
Wurzel als Potenz	\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
Logarithmus	\(\log_{a}(b) = x \;\Leftrightarrow\; a^{x} = b\)
Logarithmusgesetze	\(\log(u \cdot v) = \log u + \log v \qquad \log(u^{r}) = r \cdot \log u\)

Wachstum

Zinseszins	\(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}\)
Exponentielles Wachstum	\(f(t) = a \cdot b^{t}\)b > 1: Wachstum, 0 < b < 1: Abnahme

Dreiecke

Satz des Pythagoras	\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\)c ist die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel)
Sinus	\(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Kosinus	\(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Tangens	\(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Sinussatz	\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\)für jedes Dreieck
Kosinussatz	\(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \gamma\)
Strahlensatz	\(\frac{ZA}{ZA'} = \frac{ZB}{ZB'} = \frac{AB}{A'B'}\)wenn AB parallel zu A'B'

Kreis und Körper

Kreis	\(A = \pi r^{2} \qquad u = 2\pi r\)
Zylinder	\(V = \pi r^{2} h \qquad O = 2\pi r^{2} + 2\pi r h\)
Pyramide	\(V = \frac{1}{3} G \cdot h\)G = Grundfläche
Kegel	\(V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h \qquad O = \pi r^{2} + \pi r s\)s = Mantellinie
Kugel	\(V = \frac{4}{3}\pi r^{3} \qquad O = 4\pi r^{2}\)

Wahrscheinlichkeit

Laplace	\(P(E) = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}\)wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind
Gegenereignis	\(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\)
Pfadregeln	\(\text{entlang des Pfades: mal} \qquad \text{mehrere Pfade: plus}\)im Baumdiagramm

Formelsammlung Oberstufe und Abitur

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Ableitungsregeln

Potenzregel	\(f(x) = x^{n} \;\Rightarrow\; f'(x) = n \cdot x^{n - 1}\)
Faktorregel	\((c \cdot f)' = c \cdot f'\)
Summenregel	\((f + g)' = f' + g'\)
Produktregel	\((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)
Kettenregel	\(\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)äußere Ableitung mal innere Ableitung
Quotientenregel	\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}\)

Wichtige Ableitungen

e-Funktion	\((e^{x})' = e^{x}\)
Logarithmus	\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
Sinus und Kosinus	\((\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x\)
Wurzel	\((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Kurvendiskussion

Extrempunkt	\(f'(x_0) = 0 \text{ und } f''(x_0) \neq 0\)f'' < 0: Hochpunkt, f'' > 0: Tiefpunkt
Wendepunkt	\(f''(x_0) = 0 \text{ und } f'''(x_0) \neq 0\)
Tangente in x₀	\(t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\)
Normale in x₀	\(n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0)\)

Integralrechnung

Stammfunktion	\(F'(x) = f(x)\)
Potenzregel	\(\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)für alle n außer −1
Weitere	\(\int e^{x}\,dx = e^{x} + C \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)
Hauptsatz	\(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Fläche zwischen Graphen	\(A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx\)bei Schnittstellen zwischen a und b stückweise rechnen
Mittelwert	\(\overline{m} = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)

Vektoren

Verbindungsvektor	\(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)Spitze minus Fuß
Betrag (Länge)	\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}\)
Skalarprodukt	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)= 0 bedeutet: senkrecht
Winkel	\(\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
Kreuzprodukt	\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}\)steht senkrecht auf a und b

Geraden und Ebenen

Gerade	\(g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}\)
Ebene (Parameterform)	\(E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}\)
Ebene (Koordinatenform)	\(E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\)n ist ein Normalenvektor
Abstand Punkt–Ebene	\(d(Q, E) = \frac{|n_1 q_1 + n_2 q_2 + n_3 q_3 - d|}{|\vec{n}|}\)Hessesche Normalform

Stochastik

Bedingte Wahrscheinlichkeit	\(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
Binomialverteilung	\(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}\)
Erwartungswert	\(\mu = n \cdot p\)bei der Binomialverteilung
Standardabweichung	\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\)
Erwartungswert allgemein	\(E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + \ldots + x_n \cdot P(X = x_n)\)
Normalverteilung	\(P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\)
Sigma-Regeln	\(P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\,\%\)zwei Sigma: 95,4 %, drei Sigma: 99,7 %

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