Ebenen im Raum
Eine Ebene ist eine unendlich große, völlig flache Fläche im Raum – stell Dir ein Blatt Papier vor, das in alle Richtungen immer weitergeht. In der analytischen Geometrie beschreibst Du Ebenen mit Gleichungen. Davon gibt es drei Arten, und jede ist für andere Aufgaben praktisch.
1. Parameterform – „Startpunkt und zwei Richtungen“
Du startest in einem Punkt der Ebene (Stützvektor \(\vec{p}\)) und kannst Dich in zwei verschiedene Richtungen bewegen (Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\)). Jeder Punkt der Ebene lässt sich so erreichen:
Ebene durch drei Punkte A, B, C: Nimm A als Stützpunkt und die Verbindungsvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) als Spannvektoren. Wichtig: Die drei Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen – sonst sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) parallel und spannen keine Ebene auf.
2. Normalenform – „Punkt und senkrechter Pfeil“
Ein Normalenvektor \(\vec{n}\) steht senkrecht auf der Ebene – wie ein Fahnenmast auf einem flachen Platz. Für jeden Punkt X der Ebene steht der Vektor von P nach X senkrecht auf \(\vec{n}\), ihr Skalarprodukt ist also 0:
Den Normalenvektor bekommst Du aus den Spannvektoren mit dem Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\).
3. Koordinatenform – „eine einzige Gleichung“
Multiplizierst Du die Normalenform aus, bekommst Du eine Gleichung ohne Vektoren:
Die Zahlen vor \(x_1, x_2, x_3\) sind genau die Koordinaten des Normalenvektors. Die Koordinatenform ist am praktischsten für Punktproben, Spurpunkte, Schnittpunkte mit Geraden und Abstände.
Beispiel: Ebene durch drei Punkte
Gegeben: \(A(1 \mid 0 \mid 2),\ B(3 \mid 1 \mid 0),\ C(0 \mid 2 \mid 1)\).
Spannvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},\quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Normalenvektor: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Koordinatenform: \(3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = d\). Punkt A einsetzen: \(d = 3 + 0 + 10 = 13\). Also \(E: 3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 13\).
Probe: B: \(9 + 4 + 0 = 13\) ✓, C: \(0 + 8 + 5 = 13\) ✓
Spurpunkte
Spurpunkte sind die Punkte, an denen die Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Auf der \(x_1\)-Achse sind \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). Bei \(3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 13\) gilt dort \(3x_1 = 13\), also \(S_1\left(\frac{13}{3} \mid 0 \mid 0\right)\). Genauso: \(S_2\left(0 \mid \frac{13}{4} \mid 0\right)\) und \(S_3\left(0 \mid 0 \mid \frac{13}{5}\right)\). Mit den drei Spurpunkten kannst Du die Ebene gut zeichnen: Verbinde sie zu einem Dreieck.
Punktprobe: Liegt der Punkt in der Ebene?
Setze die Koordinaten des Punktes in die Koordinatenform ein. Stimmt die Gleichung, liegt der Punkt in der Ebene. Beispiel: \(Q(1 \mid 1 \mid 1)\) in \(3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 13\): \(3 + 4 + 5 = 12 \neq 13\) – Q liegt nicht in der Ebene.
Lage von Gerade und Ebene
Setze die Gerade \(g: \vec{x} = \vec{s} + t \cdot \vec{r}\) zeilenweise in die Koordinatenform ein und löse nach t auf:
- genau eine Lösung für t: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt. t in die Geradengleichung einsetzen ergibt den Schnittpunkt.
- keine Lösung (z. B. 5 = 3): Die Gerade ist parallel zur Ebene.
- unendlich viele Lösungen (z. B. 3 = 3): Die Gerade liegt in der Ebene.
Schneller Vorab-Test: Ist \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\), steht der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor – dann ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr.
Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalform)
Den Abstand eines Punktes Q zur Ebene \(n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\) berechnest Du mit dieser Formel:
Im Zähler setzt Du Q in die linke Seite ein und ziehst d ab, im Nenner steht die Länge des Normalenvektors. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass der Abstand nicht negativ wird.
Beispiel
Abstand von \(Q(4 \mid 1 \mid 5)\) zur Ebene \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6\):
\(d = \frac{|2 \cdot 4 - 1 + 2 \cdot 5 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|11|}{3} = \frac{11}{3} \approx 3{,}67\) Längeneinheiten.
Welche Form wofür?
- Parameterform: wenn Punkte oder Richtungen gegeben sind, und um Punkte der Ebene zu erzeugen.
- Koordinatenform: für Punktprobe, Spurpunkte, Schnittpunkte, Abstände und Winkel – fast immer die bequemste Form zum Rechnen.
- Normalenform: als Zwischenschritt zwischen beiden und wenn ein Punkt und eine senkrechte Richtung gegeben sind.
Übungsaufgaben: Abstand Punkt–Ebene
Gib den Abstand exakt ein, z. B. 11/3 oder sqrt(10)/2. Gerundete Werte wie 1,58 werden auch akzeptiert.
Stufe 1: Normalenvektor mit ganzzahliger Länge
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Aufgabe 1
\(E: 3x_{1} + 2x_{2} + 6x_{3} = 11,\quad Q(0 \mid 2 \mid 0)\)\(d =\)\(E: 3x_{1} + 2x_{2} + 6x_{3} = 11,\quad Q(0 \mid 2 \mid 0) = d = 1\)
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Aufgabe 2
\(E: x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 7,\quad Q(0 \mid 1 \mid 0)\)\(d =\)\(E: x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 7,\quad Q(0 \mid 1 \mid 0) = d = \frac{5}{3}\)
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Aufgabe 3
\(E: 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 0,\quad Q(3 \mid 4 \mid 5)\)\(d =\)\(E: 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 0,\quad Q(3 \mid 4 \mid 5) = d = \frac{20}{3}\)
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Aufgabe 4
\(E: x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 1,\quad Q(2 \mid 5 \mid 5)\)\(d =\)\(E: x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 1,\quad Q(2 \mid 5 \mid 5) = d = 7\)
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Aufgabe 5
\(E: x_{1} + 4x_{2} + 8x_{3} = -1,\quad Q(1 \mid 5 \mid 5)\)\(d =\)\(E: x_{1} + 4x_{2} + 8x_{3} = -1,\quad Q(1 \mid 5 \mid 5) = d = \frac{62}{9}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Abstand Punkt–Ebene
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Mit dem Ebenenrechner kannst Du zwischen allen Formen umrechnen und Abstände, Schnittpunkte und Schnittgeraden mit Rechenweg bestimmen. Die Grundlagen zu Geraden findest Du unter Geraden im Raum.
Abitur-Aufgabe zum Üben
Ebenen im Sachzusammenhang: Sonnensegel und Zelt – Fläche, Neigungswinkel, Schnittpunkt und Abstand. Tippe Deine Ergebnisse ein und lass sie sofort prüfen. Weitere Aufgaben findest Du unter Abitur-Aufgaben üben.
Zelt in Pyramidenform · 10 Punkte wie in der Prüfung
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) und S(4|4|4). Eine Längeneinheit ist 1 m.
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Teilaufgabe a) · 3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)m\(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} \approx 6{,}93\,\text{m}\)
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Teilaufgabe b) · 2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³\(V = \tfrac{1}{3} \cdot 8^{2} \cdot 4 = 85{,}33\,\text{m}^3\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°\(\sin\alpha = \frac{4}{\sqrt{48}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 35{,}26^\circ\)
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Teilaufgabe d) · 2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)\(M\left(\tfrac{8 + 4}{2} \mid \tfrac{0 + 4}{2} \mid \tfrac{0 + 4}{2}\right) = M(6 \mid 2 \mid 2)\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Weiterlesen: Ebenengleichung bei Wikipedia