Extremwertaufgaben
Bei Extremwertaufgaben – auch Optimierungsaufgaben genannt – suchst Du die beste Lösung: das größte Volumen, die kleinste Fläche, den geringsten Materialverbrauch. Mathematisch heißt das: Du stellst eine Funktion auf und suchst ihren Hoch- oder Tiefpunkt.
Ausprobieren: die größte Schachtel
Aus einem Stück Pappe (30 cm × 20 cm) soll eine oben offene Schachtel werden. Dazu schneidest Du an allen vier Ecken gleich große Quadrate mit der Seitenlänge x aus und klappst die Ränder hoch. Welches x gibt das größte Volumen? Schieb den Regler und beobachte:
Ist x sehr klein, ist die Schachtel flach. Ist x groß, bleibt kaum Boden übrig. Irgendwo dazwischen liegt das Maximum – bei etwa 3,9 cm.
Das Schema für jede Extremwertaufgabe
- Skizze machen und die Größen benennen (z. B. Länge a, Breite b, Höhe x).
- Hauptbedingung: die Formel für die Größe, die möglichst groß oder klein werden soll (z. B. Volumen \(V = a \cdot b \cdot c\)). Sie hat meist noch zu viele Variablen.
- Nebenbedingung: eine zusätzliche Information aus dem Text, die die Variablen verbindet (z. B. „der Zaun ist 40 m lang“). Löse sie nach einer Variablen auf.
- Zielfunktion: Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. Jetzt hängt alles nur noch von einer Variablen ab.
- Definitionsbereich: Welche Werte sind sinnvoll? Längen sind positiv, eine Pappe kann man nicht beliebig tief einschneiden …
- Extremum berechnen: Ableitung null setzen, mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es ein Maximum oder Minimum ist.
- Randwerte prüfen und einen Antwortsatz schreiben – mit Einheit!
Beispiel 1: Gehege mit 40 m Zaun
Ein rechteckiges Gehege soll mit 40 m Zaun eingezäunt werden. Wie lang müssen die Seiten sein, damit die Fläche möglichst groß wird?
Hauptbedingung: \(A = a \cdot b\) soll maximal werden.
Nebenbedingung: Umfang \(2a + 2b = 40 \;\Rightarrow\; b = 20 - a\)
Zielfunktion: \(A(a) = a \cdot (20 - a) = -a^2 + 20a\)
Definitionsbereich: \(0 < a < 20\) (beide Seiten müssen positiv sein)
Extremum: \(A'(a) = -2a + 20 = 0 \;\Rightarrow\; a = 10\). \(A''(a) = -2 < 0\) → Maximum.
Antwort: Mit \(a = b = 10\) m wird die Fläche am größten: \(A = 100\ \text{m}^2\). Das beste Rechteck ist also ein Quadrat.
Beispiel 2: Die Schachtel von oben
Hauptbedingung: \(V = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe}\)
Nebenbedingungen: Länge \(= 30 - 2x\), Breite \(= 20 - 2x\), Höhe \(= x\) (an jeder Seite fehlen zwei Quadrate).
Zielfunktion: \(V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\)
Definitionsbereich: \(0 < x < 10\) – bei \(x = 10\) wäre die Breite 0.
Extremum: \(V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 0\). Mit der abc-Formel: \(x_1 \approx 3{,}92\) und \(x_2 \approx 12{,}74\). Nur \(x_1\) liegt im Definitionsbereich. \(V''(x) = 24x - 200\), \(V''(3{,}92) \approx -106 < 0\) → Maximum.
Antwort: Schneidet man Quadrate mit etwa 3,92 cm Seitenlänge aus, hat die Schachtel das größte Volumen, nämlich etwa \(1056\ \text{cm}^3\).
Typische Fehler
- Nebenbedingung vergessen: Mit zwei Variablen in der Zielfunktion kannst Du nicht ableiten. Erst einsetzen!
- Lösung außerhalb des Definitionsbereichs angegeben: \(x \approx 12{,}74\) ist rechnerisch eine Lösung von \(V' = 0\), aber bei einer 20 cm breiten Pappe unmöglich.
- Randwerte nicht geprüft: Manchmal liegt das Maximum am Rand des Definitionsbereichs und nicht beim Hochpunkt.
- Antwortsatz fehlt: Die Frage war nicht „Wie groß ist x?“, sondern meist „Wie groß müssen die Seiten sein?“ – gib alle gefragten Größen mit Einheit an.
Das Ableiten und Bestimmen von Hoch- und Tiefpunkten wiederholst Du unter Kurvendiskussion. Quadratische Gleichungen wie \(V'(x) = 0\) löst Du mit der abc-Formel. Zur Kontrolle hilft der Kurvendiskussion-Rechner.
Weiterlesen: Extremwertaufgabe bei Wikipedia