Fläche zwischen zwei Graphen
Zwei Funktionsgraphen, die sich schneiden, schließen eine Fläche ein. Wie groß sie ist, berechnest Du mit dem Integral der Differenz der beiden Funktionen. Hier lernst Du das Verfahren in vier Schritten – und kannst jede Aufgabe mit dem Rechner kontrollieren.
Die Idee
Du kennst schon das Integral als Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse. Liegen zwei Graphen übereinander, nimmst Du einfach die Fläche unter dem oberen Graphen und ziehst die Fläche unter dem unteren ab. Übrig bleibt der Streifen dazwischen. Mathematisch heißt das: Du integrierst die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x)\).
Das gilt, solange sich die Graphen zwischen a und b nicht schneiden. Schneiden sie sich dazwischen, wechselt „oben“ und „unten“ – dann musst Du an jeder Schnittstelle aufteilen.
Anleitung in vier Schritten
- Schnittstellen berechnen: Setze \(f(x) = g(x)\) und löse die Gleichung. Die Lösungen sind die Grenzen der Teilflächen.
- Differenzfunktion bilden: \(d(x) = f(x) - g(x)\). Klammern setzen, wenn g mehrere Summanden hat!
- Abschnittsweise integrieren: Integriere d(x) von der ersten bis zur zweiten Schnittstelle, dann von der zweiten bis zur dritten usw.
- Beträge addieren: Ein Teilintegral kann negativ sein (dann liegt g oben). Eine Fläche ist aber nie negativ – nimm also von jedem Teilintegral den Betrag und addiere.
Beispiel
Gesucht ist die Fläche zwischen \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x + 2\).
1. Schnittstellen: \(x^2 = x + 2 \;\Leftrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0\). Mit der pq-Formel: \(x_1 = -1,\ x_2 = 2\).
2. Differenzfunktion: \(d(x) = x^2 - (x + 2) = x^2 - x - 2\).
3. Integral: Stammfunktion \(D(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x\).
\(\int_{-1}^{2} d(x)\,dx = D(2) - D(-1) = \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) = -\frac{10}{3} - \frac{7}{6} = -\frac{9}{2}\)
4. Betrag: \(A = \left|-\frac{9}{2}\right| = \frac{9}{2} = 4{,}5\) Flächeneinheiten. Das Minus sagt nur: Zwischen −1 und 2 liegt g oberhalb von f.
Typische Fehler
- Klammer vergessen: \(f(x) - g(x)\) mit \(g(x) = x + 2\) ist \(x^2 - x - 2\), nicht \(x^2 - x + 2\).
- Über eine Schnittstelle hinweg integriert: Dann heben sich positive und negative Teile auf und das Ergebnis ist zu klein – im Extremfall sogar 0.
- Betrag vergessen: Eine Fläche ist immer positiv. Ein negatives Ergebnis ist ein Zeichen dafür, dass g oben liegt.
Tipp: Welche Funktion liegt oben?
Das musst Du gar nicht vorher wissen. Integriere einfach \(f - g\) und nimm am Ende den Betrag. Wer es trotzdem wissen will: Setze eine Zahl zwischen den Schnittstellen in f und g ein und vergleiche die Ergebnisse.
Rechner: Fläche zwischen zwei Graphen
Lässt Du g leer, wird die Fläche zwischen f und der x-Achse berechnet. Eingabe wie beim Taschenrechner: x^2, e^x, sqrt(x), sin(x), pi.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Parabel und Gerade
-
Aufgabe 1
\(f(x) = -2x^{2} + 6x + 6,\quad g(x) = 2x\)\(A = \frac{64}{3}\)
-
Aufgabe 2
\(f(x) = x^{2} - x - 2,\quad g(x) = x - 2\)\(A = \frac{4}{3}\)
-
Aufgabe 3
\(f(x) = 2x^{2} - x,\quad g(x) = -3x\)\(A = \frac{1}{3}\)
-
Aufgabe 4
\(f(x) = x^{2} - 5x + 2,\quad g(x) = x - 3\)\(A = \frac{32}{3}\)
-
Aufgabe 5
\(f(x) = -x^{2} + 5x - 6,\quad g(x) = -2\)\(A = \frac{9}{2}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Fläche zwischen zwei Graphen
Bis zu 6 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Die Grundlagen zu Stammfunktion und Integral findest Du unter Integralrechnung. Einzelne Integrale mit Rechenweg berechnet der Integralrechner.