Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = \frac{2\,x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Bedingung: $x^{2} - 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Quotientenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\]Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Hier ist $u = 2\,x^{2} - 8,\quad v = x^{2} - 1$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2} - 8\right]}\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\,}}}\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = 2\,x^{2},\quad v = 8$.
\[\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2} - 8\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\right)\,}}}\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Faktorregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Hier ist $c = 2,\quad u = x^{2}$.
\[\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\]\[= \frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\right)\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Potenzregel (Spezialfall) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Hier ist $u = x,\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]\[= \frac{\left(2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\right)\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{\left(2 \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\right)\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= \frac{\left(2 \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\right)\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachen
Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.
\[2 \cdot 2\,x \;\Rightarrow\; 4\,x\]\[= \frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[8\right]}\right)\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Konstantenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c)=0\]Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Hier ist $c = 8$.
\[\frac{d}{dx}{\left[8\right]} \;\Rightarrow\; 0\]\[= \frac{\left(4\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Null als Summand entfernen Vereinfachen
Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
\[4\,x - 0 \;\Rightarrow\; 4\,x\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,}}}\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = x^{2},\quad v = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Potenzregel (Spezialfall) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Hier ist $u = x,\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Konstantenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c)=0\]Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Hier ist $c = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Rightarrow\; 0\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right)\,\left(2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Null als Summand entfernen Vereinfachen
Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
\[2\,x - 0 \;\Rightarrow\; 2\,x\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \left(2\,x^{2} - 8\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[\left(2\,x^{2} - 8\right) \cdot 2\,x \;\Rightarrow\; 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)\]\[= \frac{4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Ausmultiplizieren Vereinfachen
Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
\[4\,x\,\left(x^{2} - 1\right) - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right) \;\Rightarrow\; 4\,x\,x^{2} - 4\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,x^{2} - 4\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachen
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.
\[4\,x\,x^{2} \;\Rightarrow\; 4\,x^{1 + 2}\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{1 + 2}\,}}} - 4\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[1 + 2 \;\Rightarrow\; 3\]\[= \frac{4\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}} - 4\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[4\,x \cdot 1 \;\Rightarrow\; 4\,x\]\[= \frac{4\,x^{3} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,}}} - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Ausmultiplizieren Vereinfachen
Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
\[4\,x^{3} - 4\,x - 2\,x\,\left(2\,x^{2} - 8\right) \;\Rightarrow\; 4\,x^{3} - 4\,x - 2\,x \cdot 2\,x^{2} + 2\,x \cdot 8\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{3} - 4\,x - 2\,x \cdot 2\,x^{2} + 2\,x \cdot 8\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachen
Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.
\[2\,x \cdot 2\,x^{2} \;\Rightarrow\; 4\,x\,x^{2}\]\[= \frac{4\,x^{3} - 4\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,x^{2}\,}}} + 2\,x \cdot 8}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachen
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.
\[4\,x\,x^{2} \;\Rightarrow\; 4\,x^{1 + 2}\]\[= \frac{4\,x^{3} - 4\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{1 + 2}\,}}} + 2\,x \cdot 8}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[1 + 2 \;\Rightarrow\; 3\]\[= \frac{4\,x^{3} - 4\,x - 4\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}} + 2\,x \cdot 8}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachen
Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.
\[2\,x \cdot 8 \;\Rightarrow\; 16\,x\]\[= \frac{4\,x^{3} - 4\,x - 4\,x^{3} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,16\,x\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachen
Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
\[4\,x^{3} - 4\,x - 4\,x^{3} + 16\,x \;\Rightarrow\; -4\,x + 16\,x\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-4\,x + 16\,x\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachen
Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
\[-4\,x + 16\,x \;\Rightarrow\; \left(-4 + 16\right)\,x\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-4 + 16\right)\,x\,}}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[-4 + 16 \;\Rightarrow\; 12\]\[= \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,}}}\,x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.