Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = \left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Produktregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'\]Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Hier ist $u = x - 1,\quad v = \mathrm{e}^{x}$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = x,\quad v = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= \left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\]Konstantenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c)=0\]Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Hier ist $c = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Rightarrow\; 0\]\[= \left(1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\]Null als Summand entfernen Vereinfachen
Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
\[1 - 0 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[1\,\mathrm{e}^{x} \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x}\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \left(x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\]Ableitung der Exponentialfunktion Ableiten
\[\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'\]Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Hier ist $u = x$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\]\[= \mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= \mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x}\]\[= \mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\]Ausmultiplizieren Vereinfachen
Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x} - 1\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[1\,\mathrm{e}^{x} \;\Rightarrow\; \mathrm{e}^{x}\]\[= \mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\]Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachen
Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.