Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = x\,\sqrt{4 - x^{2}}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Bedingung: $4 - x^{2}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Produktregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'\]Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Hier ist $u = x,\quad v = \sqrt{4 - x^{2}}$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{4 - x^{2}}\right]}\,}}}\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{4 - x^{2}}\right]}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[1\,\sqrt{4 - x^{2}} \;\Rightarrow\; \sqrt{4 - x^{2}}\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{4 - x^{2}}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{4 - x^{2}}\right]}\]Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'\]Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Hier ist $u = 4 - x^{2}$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{4 - x^{2}}\right]} \;\Rightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[4 - x^{2}\right]}\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[4 - x^{2}\right]}\,}}}\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = 4,\quad v = x^{2}$.
\[\frac{d}{dx}{\left[4 - x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[4\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[4\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)\,}}}\]Konstantenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c)=0\]Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Hier ist $c = 4$.
\[\frac{d}{dx}{\left[4\right]} \;\Rightarrow\; 0\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)\]Potenzregel (Spezialfall) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Hier ist $u = x,\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\left(0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\left(0 - 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\left(0 - 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)\]Subtraktion von 0 aus Vereinfachen
0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.
\[0 - 2\,x \;\Rightarrow\; -2\,x\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x\right)\,}}}\]Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen
Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
\[x\,\frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,\left(-2\,x\right) \;\Rightarrow\; -x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}} \cdot 2\,x\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}} \cdot 2\,x\right)\,}}}\]Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachen
Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
\[-x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}} \cdot 2\,x \;\Rightarrow\; -\frac{x \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{x \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\right)\,}}}\]Faktoren ordnen Vereinfachen
Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
\[x \cdot 2\,x \;\Rightarrow\; 2\,x\,x\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + \left(-\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,}}}}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\right)\]Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachen
Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
\[2\,x\,x \;\Rightarrow\; 2\,x^{2}\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + \left(-\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,}}}}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}}\right)\]Zahlen kürzen Vereinfachen
Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.
\[\frac{2\,x^{2}}{2\,\sqrt{4 - x^{2}}} \;\Rightarrow\; \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\]\[= \sqrt{4 - x^{2}} + \left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,}}}\right)\]Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachen
Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{4 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.