Funktionenschar untersuchen
Eine Funktionenschar ist eine ganze Familie von Funktionen, die sich nur in einer Zahl unterscheiden – dem Parameter. Zum Beispiel gehört zu \(f_a(x) = x^2 - a\,x\) für jedes a ein anderer Graph. Im Abitur sind Scharen sehr beliebt, weil man mit ihnen zeigen kann, dass man das Rechnen mit Buchstaben wirklich verstanden hat.
Wie rechnet man mit einem Parameter?
Ganz einfach: Der Parameter ist eine feste Zahl, die Du nur noch nicht kennst. Beim Ableiten behandelst Du ihn wie eine Zahl, beim Lösen von Gleichungen bleibt er im Ergebnis stehen. Statt „x = 2“ bekommst Du dann zum Beispiel „x = a/2“.
Beispiel
Gegeben ist \(f_a(x) = x^2 - a\,x\).
Ableitung: \(f_a'(x) = 2x - a\) – das a bleibt einfach stehen.
Extremstelle: \(2x - a = 0 \;\Rightarrow\; x_E = \frac{a}{2}\).
y-Wert: \(f_a\!\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(\frac{a}{2} \,\middle|\, -\frac{a^2}{4}\right)\).
Ortskurve: Aus \(x = \frac{a}{2}\) folgt \(a = 2x\). Einsetzen in \(y = -\frac{a^2}{4}\) ergibt \(y = -x^2\). Auf dieser Parabel liegen alle Tiefpunkte der Schar.
Typische Abitur-Fragen zu Scharen
- „Für welchen Wert von a geht der Graph durch P?“ – Koordinaten von P einsetzen und nach a auflösen.
- „Für welches a liegt der Tiefpunkt auf der x-Achse?“ – y-Wert des Tiefpunkts gleich 0 setzen.
- „Zeige, dass alle Graphen durch einen gemeinsamen Punkt gehen.“ – f_a(x) = f_b(x) für zwei verschiedene Parameter lösen: Der gemeinsame Punkt hängt nicht vom Parameter ab.
- „Bestimme die Ortskurve der Extrempunkte.“ – x_E nach dem Parameter umstellen und in y_E einsetzen.
- Fallunterscheidung: Ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, kann davon abhängen, ob der Parameter positiv oder negativ ist.
Rechner für Funktionenscharen
Ergebnis
Ergebnisse für die Schar f_a:
Für einzelne Werte von a (z. B. a = 0) können Sonderfälle auftreten – dann fallen Punkte weg oder zusammen. Prüfe sie in der Prüfung extra.
Rechenweg
Ableitungen bilden
Der Parameter a wird beim Ableiten wie eine feste Zahl behandelt – nur x ist die Variable.
\[f_a(x) = x^{2} - a\,x\]\[f_a'(x) = 2\,x - a\]\[f_a''(x) = 2\]Nullstellen
Löse f_a(x) = 0 nach x auf. Die Lösungen hängen (meistens) von a ab.
\[x_{1} = a,\quad x_{2} = 0\]Extremstellen
Löse f_a'(x) = 0. Ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, entscheidet das Vorzeichen von f_a''(x_E) – und das kann vom Parameter abhängen. Deshalb unterscheidest Du oft die Fälle a > 0 und a < 0.
\[x_E = \frac{a}{2},\quad f_a''(x_E) = 2,\quad y_E = -\frac{a^{2}}{4}\]Ortskurve der Extrempunkte
Die Extrempunkte wandern, wenn sich a ändert. Ihre Bahn heißt Ortskurve. So findest Du sie: x_E = … nach a umstellen und in y_E einsetzen. Übrig bleibt eine Gleichung nur mit x und y.
\[y = -x^{2}\]Wendestellen
Die Gleichung f_a''(x) = 0 hat keine allgemein angebbare Lösung – die Schar hat (allgemein) keine Wendepunkte.
Graphen für einige Werte von a
Jede Farbe gehört zu einem anderen Wert von a. Eine vollständige Kurvendiskussion für einen festen Wert: Kurvendiskussion für a = 1.
Gemeinsame Punkte aller Graphen
Manche Scharen haben Punkte, durch die jeder Graph geht. Bei \(f_a(x) = x^2 - a\,x\) ist das der Ursprung: \(f_a(0) = 0\) für jedes a. Allgemein findest Du solche Punkte so: Setze \(f_a(x) = f_b(x)\) mit \(a \neq b\) und löse nach x. Ein x, das nicht von a und b abhängt, liefert einen gemeinsamen Punkt.
Online üben
Stufe 1: Extremstellen und y-Werte mit Parameter, Stufe 2: Ortskurven, Stufe 3: den Parameter aus einer Bedingung bestimmen. Terme gibst Du so ein: 2/a, -a^2+3, x/e.
Stufe 1: Extremstellen mit Parameter
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Aufgabe 1
\(f_k(x) = x \cdot e^{-kx}\ (k > 0):\ \text{Extremstelle}\)\(f_k'(x) = (1 - kx)\,e^{-kx} = 0 \;\Rightarrow\; x = rac{1}{k}\)
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Aufgabe 2
\(f_a(x) = x^2 - 2a\,x - 3:\ \text{y-Wert des Tiefpunkts}\)\(f_a(a) = a^2 - 2a^2 - 3 = -a^2 - 3\)
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Aufgabe 3
\(f_a(x) = x^3 - 3a^2 x\ (a > 0):\ \text{Hochstelle}\)\(f_a'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = \pm a,\quad f_a''(-a) = -6a < 0 \;\Rightarrow\; x_H = -a\)
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Aufgabe 4
\(f_a(x) = x^2 - 2a\,x + 5:\ \text{Extremstelle}\)\(f_a'(x) = 2x - 2a = 0 \;\Rightarrow\; x = a\)
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Aufgabe 5
\(f_a(x) = x^2 - 2a\,x - 2:\ \text{Extremstelle}\)\(f_a'(x) = 2x - 2a = 0 \;\Rightarrow\; x = a\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Funktionenscharen
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Abitur-Aufgabe zum Üben
Eine zusammenhängende Aufgabe wie im Abitur: Tiefpunkt in Abhängigkeit von a, Ortskurve und ein passender Parameterwert.
Funktionenschar mit Ortskurve · 10 Punkte wie in der Prüfung
Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = x³ − 3a·x² + 1 mit a > 0.
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Teilaufgabe a) · 2 P.
\(\text{x-Koordinate des Tiefpunkts (Term mit a)}\)\(f_a'(x) = 3x^2 - 6a\,x = 3x(x - 2a) = 0,\quad f_a''(2a) = 6a > 0 \;\Rightarrow\; x_T = 2a\)
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Teilaufgabe b) · 2 P.
\(\text{y-Koordinate des Tiefpunkts (Term mit a)}\)\(f_a(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 1 = -4a^3 + 1\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Gleichung der Ortskurve aller Tiefpunkte}\)\(x = 2a \;\Rightarrow\; a = \tfrac{x}{2} \;\Rightarrow\; y = -4\left(\tfrac{x}{2}\right)^3 + 1 = -\tfrac{1}{2}x^3 + 1\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
\(\text{Für welches a liegt der Tiefpunkt auf der Höhe } y = -31?\)\(-4a^3 + 1 = -31 \;\Rightarrow\; a^3 = 8 \;\Rightarrow\; a = 2\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Für eine Funktion ohne Parameter macht der Kurvendiskussion-Rechner die komplette Untersuchung. Abitur-Aufgaben mit Sachzusammenhang zum Üben findest Du unter Abitur-Aufgaben üben.