Integralfunktion
Bei einem normalen Integral stehen oben und unten feste Zahlen – heraus kommt eine Zahl. Bei der Integralfunktion ist die obere Grenze variabel: Statt bis 3 integrierst Du „bis x“. Heraus kommt eine neue Funktion, die für jedes x angibt, wie viel „Fläche“ sich von a bis x angesammelt hat.
Dabei ist F irgendeine Stammfunktion von f. Die Variable im Integral heißt t, damit sie nicht mit der Grenze x verwechselt wird – gerechnet wird aber genau wie sonst.
Beispiel: Den Term berechnen
Beispiel
Gegeben ist \(f(t) = t - 1\) mit der unteren Grenze \(a = 0\).
1. Stammfunktion: \(F(t) = \frac{1}{2}t^2 - t\)
2. Grenzen einsetzen: \(I_0(x) = F(x) - F(0) = \frac{1}{2}x^2 - x - 0 = \frac{1}{2}x^2 - x\)
3. Probe: \(I_0(0) = 0\) ✓ und \(I_0'(x) = x - 1 = f(x)\) ✓
Am Bild siehst Du: Von 0 bis 1 liegt f unter der x-Achse – die „Fläche“ zählt negativ, I₀ fällt. Ab x = 1 ist f positiv, I₀ steigt wieder. Bei x = 2 heben sich die negative und die positive Fläche genau auf: I₀(2) = 0.
Die wichtigsten Eigenschaften
| Eigenschaft | Warum? |
|---|---|
| \(I_a(a) = 0\) | Von a bis a sammelt sich keine Fläche an. Die untere Grenze ist also immer eine Nullstelle. |
| \(I_a'(x) = f(x)\) | Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion von f. |
| f > 0 \(\Rightarrow\) I steigt | Kommt positive Fläche dazu, wird der Wert größer. |
| Vorzeichenwechsel von f \(\Rightarrow\) Extremstelle von I | Von + nach −: Hochstelle, von − nach +: Tiefstelle (denn I' = f). |
| Extremstelle von f \(\Rightarrow\) Wendestelle von I | Denn I'' = f'. |
Integralfunktion oder „nur“ Stammfunktion?
Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion – aber nicht umgekehrt. Eine Integralfunktion muss eine Nullstelle haben (nämlich bei a). \(F(x) = x^2 + 1\) ist zwar eine Stammfunktion von \(f(x) = 2x\), aber keine Integralfunktion, denn sie wird nie 0. Diese Frage kommt im Abitur gern als „Begründe“-Aufgabe.
Bestand aus einer Änderungsrate
Im Sachzusammenhang ist die Integralfunktion der Bestand: Kennst Du, wie schnell sich etwas ändert (Zuflussrate, Geschwindigkeit, Wachstumsrate), dann ist
Am meisten ist vorhanden, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt – genau wie bei der Hochstelle oben. Eine Aufgabe dazu findest Du weiter unten.
Online üben
Stufe 1: Term der Integralfunktion, Stufe 2: Funktionswerte, Stufe 3: Extrem- und Nullstellen ohne langes Rechnen.
Stufe 2: Funktionswerte
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Aufgabe 1
\(I_{-1}(x) = \int_{-1}^{x} \left(6t + 1\right)dt:\ I_{-1}(-2)\)\(F(-2) - F(-1) = 10 - 2 = 8\)
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Aufgabe 2
\(I_{-1}(x) = \int_{-1}^{x} \left(-3t^{2} + 2t\right)dt:\ I_{-1}(1)\)\(F(1) - F(-1) = 0 - 2 = -2\)
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Aufgabe 3
\(I_{2}(x) = \int_{2}^{x} \left(3t^{2} - 4t + 4\right)dt:\ I_{2}(0)\)\(F(0) - F(2) = 0 - 8 = -8\)
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Aufgabe 4
\(I_{1}(x) = \int_{1}^{x} \left(2t + 2\right)dt:\ I_{1}(3)\)\(F(3) - F(1) = 15 - 3 = 12\)
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Aufgabe 5
\(I_{1}(x) = \int_{1}^{x} \left(3t^{2} - 6t + 4\right)dt:\ I_{1}(-1)\)\(F(-1) - F(1) = -8 - 2 = -10\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Integralfunktion
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Abitur-Aufgabe zum Üben
Ein Wasserspeicher mit Zu- und Abfluss: Volumen als Integralfunktion, größter Füllstand und der Zeitpunkt, zu dem der Speicher wieder so voll ist wie am Anfang.
Integralfunktion: Wasserspeicher · 10 Punkte wie in der Prüfung
In einem Speicher sind zu Beginn (t = 0) 80 m³ Wasser. Die Änderungsrate des Wasservolumens beträgt r(t) = 6 · (4 − t) in m³ pro Stunde (t in Stunden). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Abfluss.
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Teilaufgabe a) · 3 P.
\(\text{Gib das Volumen } V(t) \text{ als Term an.}\)\(V(t) = 80 + \int_0^t 6(4 - s)\,ds = 80 + 24t - 3t^2\)
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Teilaufgabe b) · 2 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Speicher?}\)h\(r(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 4\,\text{h}\quad(\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ nach } -)\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Wie viel Wasser ist dann im Speicher?}\)m³\(V(4) = 80 + 96 - 48 = 128\,\text{m}^3\)
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Teilaufgabe d) · 2 P.
\(\text{Wann ist wieder so viel Wasser im Speicher wie am Anfang?}\)h\(V(t) = 80 \;\Rightarrow\; 24t - 3t^2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 8\,\text{h}\quad (t = 0 \text{ ist der Anfang})\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Grundlagen zu Stammfunktionen und bestimmten Integralen: Integralrechnung. Integrale mit Rechenweg berechnet der Integralrechner.
Weiterlesen: Integralfunktion bei Wikipedia