Integralrechnung
Die Integralrechnung beantwortet die Frage: Wie groß ist die Fläche unter einem Graphen? Der Schlüssel dazu ist die Stammfunktion – das Gegenstück zur Ableitung.
Stammfunktion
Merke
$F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x) = f(x)$ gilt. Hat $f$ eine Stammfunktion $F$ (das gilt z. B. für jede stetige Funktion auf einem Intervall), dann gibt es unendlich viele: Auf einem Intervall ist jede weitere Stammfunktion von der Form $F(x) + C$.
Beispiel: $F(x) = x^3$ ist eine Stammfunktion von $f(x) = 3x^2$, denn $(x^3)' = 3x^2$. Genauso sind $x^3 + 5$ oder $x^3 - 2$ Stammfunktionen.
Integrationsregeln
Die wichtigste Regel ist die Umkehrung der Potenzregel: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen.
Wie beim Ableiten gelten Faktor- und Summenregel: Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden summandenweise integriert.
Beispiel
Probe: $(2x^3 - 2x^2 + 5x)' = 6x^2 - 4x + 5$ ✓ – mit einer Ableitung kannst Du jede Stammfunktion kontrollieren.
| $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ | $f(x)$ | Stammfunktion $F(x)$ |
|---|---|---|---|
| $k$ (Zahl) | $kx$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | $e^{kx}$ | $\frac{1}{k}e^{kx}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$ | $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
| $(ax + b)^n$ | $\frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)}$ | $\frac{1}{x^2}$ | $-\frac{1}{x}$ |
Das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ misst die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall $[a; b]$ – mit Vorzeichen: Flächen über der x-Achse zählen positiv, Flächen darunter negativ.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Beispiel
Die markierte Fläche unter $f(x) = x^2$ zwischen 0 und 3 hat den Inhalt 9 Flächeneinheiten.
Flächen mit Vorzeichenwechsel
Liegt ein Teil des Graphen unterhalb der x-Achse, heben sich positive und negative Anteile beim Integral teilweise auf. Für den Flächeninhalt gehst Du deshalb so vor:
- Nullstellen von $f$ im Intervall bestimmen.
- An den Nullstellen in Teilintegrale aufteilen.
- Die Beträge der Teilintegrale addieren.
Beispiel
Fläche zwischen $f(x) = x^2 - 4$ und der x-Achse auf $[0; 3]$. Nullstelle im Intervall: $x = 2$. Stammfunktion: $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$.
Ohne Aufteilen hättest Du $\int_0^3 f(x)\,dx = -3$ erhalten – das ist nicht der Flächeninhalt.
Fläche zwischen zwei Graphen
Die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ berechnest Du mit der Differenzfunktion $d(x) = f(x) - g(x)$. Die Integrationsgrenzen sind meist die Schnittstellen der Graphen, also die Nullstellen von $d$.
Beispiel
$f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 2$: $d(x) = x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$, Schnittstellen $x = -1$ und $x = 2$.
Obere Grenze variabel? Steht oben statt einer Zahl ein x, entsteht eine neue Funktion – die Integralfunktion. Dort erfährst Du, warum I'(x) = f(x) gilt und wie Du Extremstellen von I direkt am Graphen von f abliest.
Online üben: Stammfunktionen
Stufe 1: ganzrationale Funktionen
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Aufgabe 1
\(f(x) = 3x^{3} - 9\)\(F(x) = \frac{3}{4}x^{4} - 9x + C\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 2x^{2} - 7\)\(F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - 7x + C\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = 4x^{4} - 4x^{3} + 9\)\(F(x) = \frac{4}{5}x^{5} - x^{4} + 9x + C\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -7x^{2} - 4x - 5\)\(F(x) = -\frac{7}{3}x^{3} - 2x^{2} - 5x + C\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = x^{2} - 3x\)\(F(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} + C\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = 4x^{2} - 9x\)\(F(x) = \frac{4}{3}x^{3} - \frac{9}{2}x^{2} + C\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Online üben: bestimmte Integrale
Stufe 1: lineare und quadratische Funktionen
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Aufgabe 1
\(\int_{2}^{3} \left(-6x^{2} + 3x - 3\right) dx\)\(\int_{2}^{3} \left(-6x^{2} + 3x - 3\right) dx = -\frac{67}{2}\)
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Aufgabe 2
\(\int_{2}^{5} \left(-5x + 2\right) dx\)\(\int_{2}^{5} \left(-5x + 2\right) dx = -\frac{93}{2}\)
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Aufgabe 3
\(\int_{1}^{3} \left(-4x + 2\right) dx\)\(\int_{1}^{3} \left(-4x + 2\right) dx = -12\)
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Aufgabe 4
\(\int_{1}^{3} \left(-3x^{2}\right) dx\)\(\int_{1}^{3} \left(-3x^{2}\right) dx = -26\)
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Aufgabe 5
\(\int_{2}^{4} \left(-5x + 5\right) dx\)\(\int_{2}^{4} \left(-5x + 5\right) dx = -20\)
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Aufgabe 6
\(\int_{2}^{5} \left(-3x - 1\right) dx\)\(\int_{2}^{5} \left(-3x - 1\right) dx = -\frac{69}{2}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Stammfunktionen bilden
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Arbeitsblatt: Bestimmte Integrale berechnen
Bis zu 10 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Mit dem Integralrechner berechnest Du Stammfunktionen, Integrale und Flächen für Polynome – mit allen Schritten und Skizze.
Abitur-Aufgabe zum Üben
Im Abitur steckt das Integral oft in einer Sachaufgabe: Aus einer Zuflussrate wird eine Wassermenge, aus einer Funktion eine Fläche. Tippe Deine Ergebnisse ein und lass sie sofort prüfen. Weitere Aufgaben findest Du unter Abitur-Aufgaben üben.
e-Funktion mit Fläche · 10 Punkte wie in der Prüfung
Gegeben ist f(x) = (x + 3) · e^(−x). Es gilt f′(x) = (−x − 2) · e^(−x) und f″(x) = (x + 1) · e^(−x). Eine Stammfunktion ist F(x) = −(x + 4) · e^(−x).
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Teilaufgabe a) · 1 P.
\(\text{Nullstelle von f}\)\((x + 3) \cdot e^{-x} = 0 \;\Rightarrow\; x = -3\)
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Teilaufgabe b) · 3 P.
\(\text{Hochpunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)\(f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = -2,\quad f(-2) = e^{2} \approx 7{,}39 \;\Rightarrow\; H(-2 \mid 7{,}39)\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Wendepunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)\(f''(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = -1,\quad f(-1) = 2e^{1} \approx 5{,}44 \;\Rightarrow\; W(-1 \mid 5{,}44)\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
\(\text{Fläche zwischen G und der x-Achse für } -3 \leq x \leq 0 \text{ (2 Stellen)}\)FE\(A = \int_{-3}^{0} f(x)\,dx = F(0) - F(-3) = -4 + e^{3} \approx 16{,}09\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
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