Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine Funktion ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Polstellen und Asymptoten, Monotonie, Krümmung und Verhalten an den Rändern. Das klappt für Polynome ebenso wie für e-Funktionen, ln-Funktionen, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = 2\,\sin\left(x\right) + x$:
| Definitionsbereich | \(D = \mathbb{R}\) |
|---|---|
| Nullstellen | \(0\) |
| Hochpunkte | \(H\left(-\frac{4\pi}{3} \,\middle|\, \sqrt{3} - \frac{4\,\pi}{3}\right)\), \(H\left(\frac{2\,\pi}{3} \,\middle|\, \frac{2\,\pi}{3} + \sqrt{3}\right)\) |
| Tiefpunkte | \(T\left(-\frac{2\pi}{3} \,\middle|\, -\frac{2\,\pi}{3} - \sqrt{3}\right)\), \(T\left(\frac{4\pi}{3} \,\middle|\, \frac{4\,\pi}{3} - \sqrt{3}\right)\) |
| Wendepunkte | \(W\left(-2\pi \,\middle|\, -2\,\pi\right)\), \(W\left(-\pi \,\middle|\, -\pi\right)\), \(W\left(0 \,\middle|\, 0\right)\), \(W\left(\pi \,\middle|\, \pi\right)\), \(W\left(2\pi \,\middle|\, 2\,\pi\right)\) |
| Asymptoten | keine |
Wegen der trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen. Untersucht wird das Intervall $\left[-2\pi;\ 2\pi\right]$.
Werte mit ≈ sind auf drei Nachkommastellen gerundet. Exakte Werte wurden mit dem Computeralgebrasystem Maxima berechnet.
Rechenweg
Ableitungen
Die Ableitungen wurden mit den Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) gebildet und vereinfacht. Den ausführlichen Rechenweg zeigt der Ableitungsrechner.
\[f(x) = 2\,\sin\left(x\right) + x\]\[f'(x) = 2\,\cos\left(x\right) + 1\]\[f''(x) = -2\,\sin\left(x\right)\]\[f'''(x) = -2\,\cos\left(x\right)\]Definitionsbereich
Im Funktionsterm gibt es keinen Nenner mit x, keinen Logarithmus und keine Wurzel – die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert.
\[D = \mathbb{R}\]Symmetrie
Es gilt f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
\[f(-x) = -f(x)\]Verhalten an den Rändern und Asymptoten
Untersucht wird, wie sich f(x) für x → ±∞ und bei Annäherung an die Ränder bzw. Lücken des Definitionsbereichs verhält. Strebt f(x) gegen ±∞, hat der Graph dort eine senkrechte Asymptote; strebt f(x) für x → ±∞ gegen eine Zahl, eine waagerechte.
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \infty\]\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein.
\[f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, 0\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist; ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht). Faktoren wie eˣ werden nie 0.
\[f(x) = 0\]\[x_{1} = 0\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0 (Tiefpunkt); ist f''(x) = 0, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f'.
\[f'(x) = 2\,\cos\left(x\right) + 1 = 0\]\[f''(-\frac{4\pi}{3}) = -\sqrt{3} \approx -1{,}732 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(-\frac{4\pi}{3}) = \sqrt{3} - \frac{4\,\pi}{3} \approx -2{,}457\]\[f''(-\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3} \approx 1{,}732 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2\,\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -3{,}826\]\[f''(\frac{2\,\pi}{3}) = -\sqrt{3} \approx -1{,}732 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(\frac{2\,\pi}{3}) = \frac{2\,\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 3{,}826\]\[f''(\frac{4\pi}{3}) = \sqrt{3} \approx 1{,}732 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\,\pi}{3} - \sqrt{3} \approx 2{,}457\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ≠ 0 bzw. ein Vorzeichenwechsel von f''. Ist dort zusätzlich f'(x) = 0, ist es ein Sattelpunkt.
\[f''(x) = -2\,\sin\left(x\right) = 0\]\[f'''(-2\pi) = -2 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(-2\pi) = -2\,\pi \approx -6{,}283\]\[f'''(-\pi) = 2 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(-\pi) = -\pi \approx -3{,}142\]\[f'''(0) = -2 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(0) = 0\]\[f'''(\pi) = 2 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(\pi) = \pi \approx 3{,}142\]\[f'''(2\pi) = -2 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(2\pi) = 2\,\pi \approx 6{,}283\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' und den Lücken des Definitionsbereichs ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-2\pi;\ -\frac{4\pi}{3}\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(-\frac{4\pi}{3};\ -\frac{2\pi}{3}\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \(\left(-\frac{2\pi}{3};\ \frac{2\,\pi}{3}\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(\frac{2\,\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3}\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \(\left(\frac{4\pi}{3};\ 2\pi\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt, wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-2\pi;\ -\pi\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(-\pi;\ 0\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt \(\left(0;\ \pi\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(\pi;\ 2\pi\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt; gestrichelt: Asymptoten.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen, Wurzeln, e und π:
- Polynome rechnet er Schritt für Schritt wie im Unterricht: Ausklammern, Nullstelle raten mit Polynomdivision, pq- bzw. abc-Formel.
- Alle anderen Funktionen (e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen) untersucht er mit dem Computeralgebrasystem Maxima: Definitionsbereich, Polstellen und hebbare Lücken, senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten, Grenzwerte an den Rändern und alle besonderen Punkte. Jede gefundene Stelle wird zusätzlich numerisch geprüft.
- Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈. Bei trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen – angegeben werden die im Intervall [−2π; 2π].
Eingabe: x^3 für x³, e^(-x) oder exp(-x), ln(x), sqrt(x) für √x, sin(x), Brüche mit / wie (x^2-4)/(x-1), Malpunkt * darf fehlen: 2x e^x. Den Rechenweg der Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion. Steht in Deiner Funktion ein Parameter wie a oder k (eine Funktionenschar), nutze den Funktionenschar-Rechner – er berechnet die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und die Ortskurve.