Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine Funktion ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Polstellen und Asymptoten, Monotonie, Krümmung und Verhalten an den Rändern. Das klappt für Polynome ebenso wie für e-Funktionen, ln-Funktionen, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{x}$:
| Definitionsbereich | \(D = \left(0;\ \infty\right)\) |
|---|---|
| Nullstellen | \(1\) |
| Hochpunkte | \(H\left(\mathrm{e} \,\middle|\, \mathrm{e}^{-1}\right)\) |
| Tiefpunkte | keine |
| Wendepunkte | \(W\left(\mathrm{e}^{\frac{3}{2}} \,\middle|\, \frac{3\,\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}}{2}\right)\) |
| Asymptoten | \(x = 0\), \(y = 0\) |
Werte mit ≈ sind auf drei Nachkommastellen gerundet. Exakte Werte wurden mit dem Computeralgebrasystem Maxima berechnet.
Rechenweg
Ableitungen
Die Ableitungen wurden mit den Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) gebildet und vereinfacht. Den ausführlichen Rechenweg zeigt der Ableitungsrechner.
\[f(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{x}\]\[f'(x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln\left(x\right)}{x^{2}}\]\[f''(x) = \frac{2\,\ln\left(x\right) - 3}{x^{3}}\]\[f'''(x) = -\frac{6\,\ln\left(x\right) - 11}{x^{4}}\]Definitionsbereich
Ausgeschlossen sind alle x, für die ein Nenner 0 wird, ein Logarithmus kein positives Argument hat oder unter einer Wurzel eine negative Zahl steht. Daraus ergeben sich die Bedingungen:
\[x \neq 0\quad \text{(Nenner)}\]\[x > 0\quad \text{(Logarithmus)}\]\[D = \left(0;\ \infty\right)\]Symmetrie
Der Definitionsbereich ist nicht symmetrisch zu 0 – deshalb kann der Graph weder achsen- noch punktsymmetrisch (zum Ursprung) sein.
\[f(-x) \neq f(x),\quad f(-x) \neq -f(x)\]Verhalten an den Rändern und Asymptoten
Untersucht wird, wie sich f(x) für x → ±∞ und bei Annäherung an die Ränder bzw. Lücken des Definitionsbereichs verhält. Strebt f(x) gegen ±∞, hat der Graph dort eine senkrechte Asymptote; strebt f(x) für x → ±∞ gegen eine Zahl, eine waagerechte.
\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\quad\Rightarrow\quad \text{Rand des Definitionsbereichs, senkrechte Asymptote } x = 0\]\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\quad\Rightarrow\quad \text{waagerechte Asymptote } y = 0\]Schnittpunkt mit der y-Achse
x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich – der Graph schneidet die y-Achse nicht.
Nullstellen
Setze f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist; ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht). Faktoren wie eˣ werden nie 0.
\[f(x) = 0\]\[x_{1} = 1\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0 (Tiefpunkt); ist f''(x) = 0, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f'.
\[f'(x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln\left(x\right)}{x^{2}} = 0\]\[f''(\mathrm{e}) = -\mathrm{e}^{-3} \approx -0{,}05 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(\mathrm{e}) = \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}368\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ≠ 0 bzw. ein Vorzeichenwechsel von f''. Ist dort zusätzlich f'(x) = 0, ist es ein Sattelpunkt.
\[f''(x) = \frac{2\,\ln\left(x\right) - 3}{x^{3}} = 0\]\[f'''(\mathrm{e}^{\frac{3}{2}}) = 2\,\mathrm{e}^{-6} \approx 0{,}005 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(\mathrm{e}^{\frac{3}{2}}) = \frac{3\,\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}}{2} \approx 0{,}335\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' und den Lücken des Definitionsbereichs ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(0;\ \mathrm{e}\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(\mathrm{e};\ \infty\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt, wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(0;\ \mathrm{e}^{\frac{3}{2}}\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(\mathrm{e}^{\frac{3}{2}};\ \infty\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt; gestrichelt: Asymptoten.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen, Wurzeln, e und π:
- Polynome rechnet er Schritt für Schritt wie im Unterricht: Ausklammern, Nullstelle raten mit Polynomdivision, pq- bzw. abc-Formel.
- Alle anderen Funktionen (e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen) untersucht er mit dem Computeralgebrasystem Maxima: Definitionsbereich, Polstellen und hebbare Lücken, senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten, Grenzwerte an den Rändern und alle besonderen Punkte. Jede gefundene Stelle wird zusätzlich numerisch geprüft.
- Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈. Bei trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen – angegeben werden die im Intervall [−2π; 2π].
Eingabe: x^3 für x³, e^(-x) oder exp(-x), ln(x), sqrt(x) für √x, sin(x), Brüche mit / wie (x^2-4)/(x-1), Malpunkt * darf fehlen: 2x e^x. Den Rechenweg der Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion. Steht in Deiner Funktion ein Parameter wie a oder k (eine Funktionenschar), nutze den Funktionenschar-Rechner – er berechnet die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und die Ortskurve.