Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine Funktion ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Polstellen und Asymptoten, Monotonie, Krümmung und Verhalten an den Rändern. Das klappt für Polynome ebenso wie für e-Funktionen, ln-Funktionen, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = x^{3} - 3x$:
| Nullstellen | \(-\sqrt{3}\), \(0\), \(\sqrt{3}\) |
|---|---|
| Hochpunkte | \(H\left(-1 \,\middle|\, 2\right)\) |
| Tiefpunkte | \(T\left(1 \,\middle|\, -2\right)\) |
| Wendepunkte | \(W\left(0 \,\middle|\, 0\right)\) |
| y-Achsenabschnitt | \(S_y(0 \mid 0)\) |
Rechenweg
Ableitungen bilden
Mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel leitest Du jeden Summanden einzeln ab: aus a·xⁿ wird a·n·xⁿ⁻¹.
\[f(x) = x^{3} - 3x\]\[f'(x) = 3x^{2} - 3\]\[f''(x) = 6x\]\[f'''(x) = 6\]Definitionsbereich und Symmetrie
Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Alle Exponenten sind ungerade. Damit gilt f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
\[D = \mathbb{R}\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein. Übrig bleibt das absolute Glied.
\[f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, 0\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Es gibt kein absolutes Glied – klammere x aus. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist (Satz vom Nullprodukt). Den quadratischen Rest löst Du mit der abc-Formel (Mitternachtsformel). Entscheidend ist die Diskriminante D = b² − 4ac.
\[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{3} - 3x = 0\]\[x \cdot \left(x^{2} - 3\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0\]\[x^{2} - 3 = 0: \quad D = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(-3\right) = 12\]\[x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}\]\[x_{1} = -\sqrt{3},\quad x_{2} = 0,\quad x_{3} = \sqrt{3}\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f''(x) ≠ 0 – ist f''(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor, ist f''(x) > 0, ein Tiefpunkt.
\[f'(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 3x^{2} - 3 = 0\]\[3x^{2} - 3 = 0: \quad D = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(-3\right) = 36\]\[x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{36}}{2 \cdot 3}\]\[x_{1} = -1,\quad x_{2} = 1\]\[f''(-1) = -6 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(-1) = 2\]\[f''(1) = 6 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(1) = -2\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0. Ist an einem Wendepunkt zusätzlich f'(x) = 0, ist er ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt).
\[f''(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 6x = 0\]\[x_0 = 0\]\[f'''(0) = 6 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(0) = 0\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \((-\infty;\ -1)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \((-1;\ 1)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \((1;\ \infty)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lachender Mund), wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \((-\infty;\ 0)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \((0;\ \infty)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt Verhalten im Unendlichen
Für sehr große |x| bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz (x^3) den Verlauf: Grad 3 ist ungerade, der Leitkoeffizient ist positiv.
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen, Wurzeln, e und π:
- Polynome rechnet er Schritt für Schritt wie im Unterricht: Ausklammern, Nullstelle raten mit Polynomdivision, pq- bzw. abc-Formel.
- Alle anderen Funktionen (e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen) untersucht er mit dem Computeralgebrasystem Maxima: Definitionsbereich, Polstellen und hebbare Lücken, senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten, Grenzwerte an den Rändern und alle besonderen Punkte. Jede gefundene Stelle wird zusätzlich numerisch geprüft.
- Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈. Bei trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen – angegeben werden die im Intervall [−2π; 2π].
Eingabe: x^3 für x³, e^(-x) oder exp(-x), ln(x), sqrt(x) für √x, sin(x), Brüche mit / wie (x^2-4)/(x-1), Malpunkt * darf fehlen: 2x e^x. Den Rechenweg der Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion. Steht in Deiner Funktion ein Parameter wie a oder k (eine Funktionenschar), nutze den Funktionenschar-Rechner – er berechnet die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und die Ortskurve.