Kurvendiskussion
Bei einer Kurvendiskussion untersuchst Du eine Funktion so gründlich, dass Du ihren Graphen ohne Wertetabelle skizzieren kannst. Du gehst dabei immer nach demselben Schema vor – hier Schritt für Schritt am Beispiel
Das Schema
- Ableitungen bilden
- Definitionsbereich und Symmetrie
- Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achse, Nullstellen)
- Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
- Wendepunkte
- Verhalten im Unendlichen
- Graph skizzieren
1. Ableitungen bilden
Mit den Ableitungsregeln bildest Du die ersten drei Ableitungen:
2. Definitionsbereich und Symmetrie
Ganzrationale Funktionen (Polynome) sind für alle reellen Zahlen definiert: $D = \mathbb{R}$.
- Kommen nur gerade Exponenten vor (die Zahl ohne $x$ zählt als $x^0$), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
- Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.
In unserem Beispiel gibt es gerade ($x^2$) und ungerade Exponenten ($x^3$, $x$) – also keine dieser Symmetrien.
3. Schnittpunkte mit den Achsen
y-Achse: $f(0) = 0$, also $S_y(0 \mid 0)$.
Nullstellen: Setze $f(x) = 0$. Da kein absolutes Glied vorhanden ist, kannst Du $x$ ausklammern:
Tipp
An einer doppelten Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur – dort liegt immer auch ein Extrempunkt.
4. Extrempunkte
Notwendige Bedingung: An Hoch- und Tiefpunkten ist die Tangente waagerecht, also $f'(x) = 0$:
Hinreichende Bedingung: Setze die Stellen in $f''$ ein. Ist $f''(x) < 0$, ist der Graph dort rechtsgekrümmt – ein Hochpunkt. Ist $f''(x) > 0$, liegt ein Tiefpunkt vor.
Achtung
Ist $f''(x_E) = 0$, sagt die zweite Ableitung nichts aus. Dann prüfst Du, ob $f'$ an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt (Vorzeichenwechsel-Kriterium). Ohne Vorzeichenwechsel liegt ein Sattelpunkt vor – z. B. bei $f(x) = x^3$ im Ursprung.
5. Wendepunkte
An einem Wendepunkt wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve (oder umgekehrt). Notwendig: $f''(x) = 0$, hinreichend: zusätzlich $f'''(x) \neq 0$.
6. Verhalten im Unendlichen
Für sehr große $|x|$ bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz den Verlauf. Bei $x^3$ (ungerader Grad, positiver Faktor) gilt:
7. Graph
Monotonie und Krümmung
Aus den Extrem- und Wendepunkten kannst Du auch ablesen, wo der Graph steigt oder fällt und wie er gekrümmt ist:
| Intervall | Verlauf | Intervall | Krümmung |
|---|---|---|---|
| $x < 1$ | steigend ($f' > 0$) | $x < 2$ | rechtsgekrümmt ($f'' < 0$) |
| $1 < x < 3$ | fallend ($f' < 0$) | $x > 2$ | linksgekrümmt ($f'' > 0$) |
| $x > 3$ | steigend ($f' > 0$) |
Was ist bei anderen Funktionen anders?
Das Vorgehen bleibt immer gleich: ableiten, gleich 0 setzen, prüfen, y-Wert ausrechnen. Ein paar Punkte kommen aber dazu:
| Funktionstyp | Darauf musst Du achten |
|---|---|
| e-Funktionen, z. B. $(x + 1) \cdot e^{-x}$ | Ableiten mit Produkt- und Kettenregel. $e^{\dots}$ ist nie 0 – bei $(\dots) \cdot e^{-x} = 0$ setzt Du nur die Klammer gleich 0. Im Unendlichen gewinnt immer die e-Funktion: $x \cdot e^{-x} \to 0$ für $x \to \infty$. Das ergibt oft eine waagerechte Asymptote. |
| Gebrochenrationale Funktionen, z. B. $\frac{x^2 - 4}{x - 1}$ | Zuerst den Definitionsbereich: Wo wird der Nenner 0? Dort liegt eine Polstelle (senkrechte Asymptote) oder eine Lücke. Nullstellen: nur der Zähler muss 0 sein. Für große $|x|$ zählt das Verhältnis der höchsten Potenzen: waagerechte oder schräge Asymptote. |
| ln-Funktionen, z. B. $\frac{\ln(x)}{x}$ | Nur für $x > 0$ definiert. $\ln(x) = 0$ genau bei $x = 1$. |
| Sinus und Kosinus | Unendlich viele Extrem- und Wendepunkte – meist ist ein Intervall vorgegeben, z. B. $[0; 2\pi]$. |
| Funktionenscharen, z. B. $f_a(x) = x^2 - a\,x$ | Der Parameter bleibt im Ergebnis stehen. Oft ist eine Fallunterscheidung (a > 0 / a < 0) und die Ortskurve gefragt – siehe Funktionenschar untersuchen. |
Checkliste für das Abitur
- Definitionsbereich und Symmetrie
- Schnittpunkte mit den Achsen
- Verhalten an den Rändern und Asymptoten
- Extrempunkte (notwendige und hinreichende Bedingung)
- Wendepunkte, ggf. Wendetangente
- Monotonie- und Krümmungsverhalten
- Graph skizzieren – mit allen besonderen Punkten
Alle sieben Schritte macht der Kurvendiskussion-Rechner für Dich vor, Funktionen mit Parameter untersucht der Funktionenschar-Rechner.
Online üben: Extrempunkte
Stufe 2: Funktionen 3. Grades
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Aufgabe 1
\(f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} + 12x + 3\)\(T\left(-1 \,\middle|\, -4\right),\quad H\left(2 \,\middle|\, 23\right)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x - 5\)\(H\left(-1 \,\middle|\, 5\right),\quad T\left(3 \,\middle|\, -59\right)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = 2x^{3} - 24x^{2} + 72x + 1\)\(H\left(2 \,\middle|\, 65\right),\quad T\left(6 \,\middle|\, 1\right)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -x^{3} - 6x^{2} + 5\)\(T\left(-4 \,\middle|\, -27\right),\quad H\left(0 \,\middle|\, 5\right)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Extrempunkte bestimmen
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Eigene Funktion untersuchen? Der Kurvendiskussion-Rechner macht die komplette Kurvendiskussion mit Rechenweg und Graph – auch für e-Funktionen wie x²·e⁻ˣ, ln-Funktionen wie ln(x)/x und gebrochenrationale Funktionen wie (x² − 4)/(x − 1) mit Polstellen und Asymptoten.
Abitur-Aufgabe zum Üben
So kommt die Kurvendiskussion im Abitur dran: als Pflichtteil ohne Taschenrechner oder mit einer e-Funktion und einer Fläche. Tippe Deine Ergebnisse ein und lass sie sofort prüfen. Weitere Aufgaben findest Du unter Abitur-Aufgaben üben.
e-Funktion mit Fläche · 10 Punkte wie in der Prüfung
Gegeben ist f(x) = (x + 3) · e^(−x). Es gilt f′(x) = (−x − 2) · e^(−x) und f″(x) = (x + 1) · e^(−x). Eine Stammfunktion ist F(x) = −(x + 4) · e^(−x).
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Teilaufgabe a) · 1 P.
\(\text{Nullstelle von f}\)\((x + 3) \cdot e^{-x} = 0 \;\Rightarrow\; x = -3\)
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Teilaufgabe b) · 3 P.
\(\text{Hochpunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)\(f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = -2,\quad f(-2) = e^{2} \approx 7{,}39 \;\Rightarrow\; H(-2 \mid 7{,}39)\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Wendepunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)\(f''(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = -1,\quad f(-1) = 2e^{1} \approx 5{,}44 \;\Rightarrow\; W(-1 \mid 5{,}44)\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
\(\text{Fläche zwischen G und der x-Achse für } -3 \leq x \leq 0 \text{ (2 Stellen)}\)FE\(A = \int_{-3}^{0} f(x)\,dx = F(0) - F(-3) = -4 + e^{3} \approx 16{,}09\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Weiterlesen: Kurvendiskussion bei Wikipedia