Partialbruchzerlegung
Bei der Partialbruchzerlegung schreibst Du einen komplizierten Bruch aus Polynomen als Summe einfacher Brüche. Das ist wie bei Zahlen: \(\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). Gebraucht wird das vor allem in der Oberstufe und im Studium, um solche Brüche zu integrieren.
Worum geht es?
\[\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}\]
Links steht ein Bruch, den man schlecht integrieren kann. Rechts stehen zwei einfache Brüche – die kann man sofort integrieren (mit dem natürlichen Logarithmus).
Anleitung in fünf Schritten
- Echt oder unecht? Ist der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners, mach zuerst eine Polynomdivision. Zerlegt wird danach nur der Restbruch.
- Nenner faktorisieren: Nullstellen des Nenners suchen und ihn als Produkt schreiben, z. B. \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\).
- Ansatz aufstellen: Für jeden Faktor einen Teilbruch mit unbekanntem Zähler (siehe Tabelle unten).
- Unbekannte bestimmen: Mit dem Nenner malnehmen und dann Koeffizienten vergleichen – oder geschickt Zahlen für x einsetzen (Zuhaltemethode).
- Ergebnis hinschreiben und zur Kontrolle wieder auf den Hauptnenner bringen.
Welcher Ansatz für welchen Faktor?
| Faktor im Nenner | Teilbrüche im Ansatz |
|---|---|
| einfacher Linearfaktor \((x - a)\) | \(\frac{A}{x - a}\) |
| doppelter Linearfaktor \((x - a)^2\) | \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\) |
| dreifacher Linearfaktor \((x - a)^3\) | \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} + \frac{C}{(x - a)^3}\) |
| quadratischer Faktor ohne Nullstelle, z. B. \((x^2 + 1)\) | \(\frac{Ax + B}{x^2 + 1}\) |
Merke: Insgesamt gibt es immer genau so viele Unbekannte, wie der Nenner Grad hat.
Beispiel Schritt für Schritt
Zerlege \(\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2}\).
1. Zähler Grad 1, Nenner Grad 2 – der Bruch ist echt, keine Polynomdivision nötig.
2. \(x^2 - x - 2 = 0\) hat die Lösungen \(x = 2\) und \(x = -1\), also \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\).
3. Ansatz: \(\frac{5x - 4}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}\)
4. Mit \((x - 2)(x + 1)\) malnehmen: \(5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)\).
- Zuhaltemethode: Setze \(x = 2\) ein: \(6 = 3A\), also \(A = 2\). Setze \(x = -1\) ein: \(-9 = -3B\), also \(B = 3\).
- Koeffizientenvergleich: Ausmultipliziert \(5x - 4 = (A + B)x + (A - 2B)\). Also \(A + B = 5\) und \(A - 2B = -4\) – das ergibt ebenfalls \(A = 2,\ B = 3\).
5. \(\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}\)
Zuhaltemethode oder Koeffizientenvergleich?
Hat der Nenner nur einfache Linearfaktoren, ist die Zuhaltemethode am schnellsten: Für jede Nullstelle a des Nenners setzt Du x = a ein – dann fallen alle anderen Unbekannten weg. Bei doppelten oder quadratischen Faktoren brauchst Du den Koeffizientenvergleich (oder eine Mischung aus beidem).
Rechner: Partialbruchzerlegung mit Rechenweg
Ergebnis
Partialbruchzerlegung von $\dfrac{x^{3}}{x^{2} - 1}$:
Schneller geht es hier mit der Zuhaltemethode: Für den Faktor (x − a) hältst Du ihn im Nenner zu und setzt x = a in den Rest ein – das Ergebnis ist direkt der Zähler des Teilbruchs.
Rechenweg
Polynomdivision (Bruch ist unecht)
Der Grad des Zählers (3) ist nicht kleiner als der Grad des Nenners (2). Teile deshalb zuerst mit der Polynomdivision. Zerlegt wird danach nur noch der Restbruch.
\[\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = x + \frac{x}{x^{2} - 1}\]Nenner faktorisieren
Zerlege den Nenner in möglichst einfache Faktoren: lineare Faktoren wie (x − 2) – ihre Nullstellen findest Du mit der pq-Formel oder durch Raten und Polynomdivision – und quadratische Faktoren ohne Nullstelle.
\[x^{2} - 1 = \left(x - 1\right)\,\left(x + 1\right)\]Ansatz aufstellen
Für jeden Faktor des Nenners gibt es einen Teilbruch mit einer unbekannten Zahl im Zähler.
\[\frac{x}{\left(x - 1\right)\,\left(x + 1\right)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}\]Mit dem Nenner malnehmen
Multipliziere beide Seiten mit dem ganzen Nenner. Links bleibt nur der Zähler stehen, rechts kürzt sich in jedem Bruch der eigene Nenner weg:
\[x = \left(B + A\right)\,x - B + A\]Koeffizientenvergleich
Zwei Polynome sind nur dann gleich, wenn vor jeder x-Potenz auf beiden Seiten dasselbe steht. Vergleiche also die Zahlen vor x², vor x und ohne x – das gibt ein Gleichungssystem:
\[x:\quad B + A = 1\]\[\text{Zahlen ohne }x:\quad A - B = 0\]Gleichungssystem lösen
Löse das Gleichungssystem (z. B. mit dem Einsetzungsverfahren oder dem Gauß-Verfahren):
\[A = \frac{1}{2},\quad B = \frac{1}{2}\]
Brauchst Du die Zerlegung zum Integrieren? Dann gilt für jeden einfachen Teilbruch: \(\int \frac{A}{x - a}\,dx = A \cdot \ln|x - a| + C\). Mehr zum Integrieren findest Du unter Integralrechnung.
Weiterlesen: Partialbruchzerlegung bei Wikipedia