Partialbruchzerlegung
Bei der Partialbruchzerlegung schreibst Du einen komplizierten Bruch aus Polynomen als Summe einfacher Brüche. Das ist wie bei Zahlen: \(\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). Gebraucht wird das vor allem in der Oberstufe und im Studium, um solche Brüche zu integrieren.
Worum geht es?
\[\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}\]
Links steht ein Bruch, den man schlecht integrieren kann. Rechts stehen zwei einfache Brüche – die kann man sofort integrieren (mit dem natürlichen Logarithmus).
Anleitung in fünf Schritten
- Echt oder unecht? Ist der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners, mach zuerst eine Polynomdivision. Zerlegt wird danach nur der Restbruch.
- Nenner faktorisieren: Nullstellen des Nenners suchen und ihn als Produkt schreiben, z. B. \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\).
- Ansatz aufstellen: Für jeden Faktor einen Teilbruch mit unbekanntem Zähler (siehe Tabelle unten).
- Unbekannte bestimmen: Mit dem Nenner malnehmen und dann Koeffizienten vergleichen – oder geschickt Zahlen für x einsetzen (Zuhaltemethode).
- Ergebnis hinschreiben und zur Kontrolle wieder auf den Hauptnenner bringen.
Welcher Ansatz für welchen Faktor?
| Faktor im Nenner | Teilbrüche im Ansatz |
|---|---|
| einfacher Linearfaktor \((x - a)\) | \(\frac{A}{x - a}\) |
| doppelter Linearfaktor \((x - a)^2\) | \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\) |
| dreifacher Linearfaktor \((x - a)^3\) | \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} + \frac{C}{(x - a)^3}\) |
| quadratischer Faktor ohne Nullstelle, z. B. \((x^2 + 1)\) | \(\frac{Ax + B}{x^2 + 1}\) |
Merke: Insgesamt gibt es immer genau so viele Unbekannte, wie der Nenner Grad hat.
Beispiel Schritt für Schritt
Zerlege \(\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2}\).
1. Zähler Grad 1, Nenner Grad 2 – der Bruch ist echt, keine Polynomdivision nötig.
2. \(x^2 - x - 2 = 0\) hat die Lösungen \(x = 2\) und \(x = -1\), also \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\).
3. Ansatz: \(\frac{5x - 4}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}\)
4. Mit \((x - 2)(x + 1)\) malnehmen: \(5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)\).
- Zuhaltemethode: Setze \(x = 2\) ein: \(6 = 3A\), also \(A = 2\). Setze \(x = -1\) ein: \(-9 = -3B\), also \(B = 3\).
- Koeffizientenvergleich: Ausmultipliziert \(5x - 4 = (A + B)x + (A - 2B)\). Also \(A + B = 5\) und \(A - 2B = -4\) – das ergibt ebenfalls \(A = 2,\ B = 3\).
5. \(\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}\)
Zuhaltemethode oder Koeffizientenvergleich?
Hat der Nenner nur einfache Linearfaktoren, ist die Zuhaltemethode am schnellsten: Für jede Nullstelle a des Nenners setzt Du x = a ein – dann fallen alle anderen Unbekannten weg. Bei doppelten oder quadratischen Faktoren brauchst Du den Koeffizientenvergleich (oder eine Mischung aus beidem).
Rechner: Partialbruchzerlegung mit Rechenweg
Ergebnis
Partialbruchzerlegung von $\dfrac{5\,x - 4}{x^{2} - x - 2}$:
Schneller geht es hier mit der Zuhaltemethode: Für den Faktor (x − a) hältst Du ihn im Nenner zu und setzt x = a in den Rest ein – das Ergebnis ist direkt der Zähler des Teilbruchs.
Rechenweg
Nenner faktorisieren
Zerlege den Nenner in möglichst einfache Faktoren: lineare Faktoren wie (x − 2) – ihre Nullstellen findest Du mit der pq-Formel oder durch Raten und Polynomdivision – und quadratische Faktoren ohne Nullstelle.
\[x^{2} - x - 2 = \left(x - 2\right)\,\left(x + 1\right)\]Ansatz aufstellen
Für jeden Faktor des Nenners gibt es einen Teilbruch mit einer unbekannten Zahl im Zähler.
\[\frac{5\,x - 4}{\left(x - 2\right)\,\left(x + 1\right)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}\]Mit dem Nenner malnehmen
Multipliziere beide Seiten mit dem ganzen Nenner. Links bleibt nur der Zähler stehen, rechts kürzt sich in jedem Bruch der eigene Nenner weg:
\[5\,x - 4 = \left(B + A\right)\,x - 2\,B + A\]Koeffizientenvergleich
Zwei Polynome sind nur dann gleich, wenn vor jeder x-Potenz auf beiden Seiten dasselbe steht. Vergleiche also die Zahlen vor x², vor x und ohne x – das gibt ein Gleichungssystem:
\[x:\quad B + A = 5\]\[\text{Zahlen ohne }x:\quad A - 2\,B = -4\]Gleichungssystem lösen
Löse das Gleichungssystem (z. B. mit dem Einsetzungsverfahren oder dem Gauß-Verfahren):
\[A = 2,\quad B = 3\]
Brauchst Du die Zerlegung zum Integrieren? Dann gilt für jeden einfachen Teilbruch: \(\int \frac{A}{x - a}\,dx = A \cdot \ln|x - a| + C\). Mehr zum Integrieren findest Du unter Integralrechnung.
Weiterlesen: Partialbruchzerlegung bei Wikipedia