Polynomdivision
Mit der Polynomdivision teilst Du ein Polynom durch ein anderes – genauso wie bei der schriftlichen Division von Zahlen. Gebraucht wird sie vor allem, um Nullstellen von Funktionen 3. und 4. Grades zu finden.
Das Verfahren in drei Schritten
Merke
Wiederhole, bis der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor:
- Teilen: Den höchsten Summanden des Dividenden durch den höchsten Summanden des Divisors teilen – das ergibt den nächsten Summanden des Ergebnisses.
- Zurückmultiplizieren: Diesen Summanden mit dem ganzen Divisor multiplizieren und darunter schreiben.
- Abziehen: Subtrahieren (Vorzeichen beachten!) und den nächsten Summanden „herunterholen“.
Beispiel ohne Rest
Berechne $\left(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\right) : (x - 1)$.
| \((x^{3}\) | \(- 2x^{2}\) | \(- 5x\) | \(+ 6\) | \()\) | \(:\ (x - 1) = x^{2} - x - 6\) | |
| \(-\big(\) | \(x^{3}\) | \(- x^{2}\) | \(\big)\) | |||
| \(-x^{2}\) | \(- 5x\) | |||||
| \(-\big(\) | \(-x^{2}\) | \(+ x\) | \(\big)\) | |||
| \(-6x\) | \(+ 6\) | |||||
| \(-\big(\) | \(-6x\) | \(+ 6\) | \(\big)\) | |||
| \(0\) |
- $x^3 : x = x^2$ → zurückmultiplizieren: $x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$ → abziehen: $-x^2 - 5x$
- $-x^2 : x = -x$ → $-x \cdot (x - 1) = -x^2 + x$ → abziehen: $-6x + 6$
- $-6x : x = -6$ → $-6 \cdot (x - 1) = -6x + 6$ → abziehen: $0$
Ergebnis: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)\left(x^2 - x - 6\right)$
Achtung
Fehlt im Dividenden eine Potenz von $x$, schreibe sie mit dem Faktor 0 hin (z. B. $x^3 + 0x^2 + 2x + 5$) – sonst verrutschen die Spalten. Der häufigste Fehler ist das Abziehen: Die ganze Klammer wird subtrahiert, also drehen sich alle Vorzeichen um.
Polynomdivision mit Rest
Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Er wird – wie bei Zahlen – als Bruch mit dem Divisor im Nenner angehängt.
Beispiel mit Rest
Berechne $\left(x^3 + 2x + 5\right) : (x - 2)$.
| \((x^{3}\) | \(+ 2x\) | \(+ 5\) | \()\) | \(:\ (x - 2) = x^{2} + 2x + 6 + \frac{17}{x - 2}\) | ||
| \(-\big(\) | \(x^{3}\) | \(- 2x^{2}\) | \(\big)\) | |||
| \(2x^{2}\) | \(+ 2x\) | |||||
| \(-\big(\) | \(2x^{2}\) | \(- 4x\) | \(\big)\) | |||
| \(6x\) | \(+ 5\) | |||||
| \(-\big(\) | \(6x\) | \(- 12\) | \(\big)\) | |||
| \(17\) |
Tipp: Restsatz
Beim Teilen durch $(x - a)$ ist der Rest immer genau $f(a)$. Im Beispiel: $f(2) = 8 + 4 + 5 = 17$. Daraus folgt: Die Division durch $(x - a)$ geht genau dann auf, wenn $a$ eine Nullstelle ist.
Nullstellen mit Polynomdivision bestimmen
Für Funktionen 3. Grades gibt es keine einfache Lösungsformel. Das Standardverfahren in der Schule:
- Eine Nullstelle raten. Hat das Polynom ganzzahlige Koeffizienten und den Leitkoeffizienten 1, sind ganzzahlige Nullstellen Teiler des Absolutglieds. Probiere $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ durch Einsetzen.
- Linearfaktor abspalten: Ist $x_1$ eine Nullstelle, teile $f(x)$ durch $(x - x_1)$.
- Restliche quadratische Gleichung lösen – mit der pq-Formel oder abc-Formel.
Beispiel
$f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. Teiler von 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Probe: $f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓
Polynomdivision (siehe oben): $f(x) = (x - 1)\left(x^2 - x - 6\right)$.
pq-Formel für $x^2 - x - 6 = 0$: $x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} = \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2}$, also $x = 3$ und $x = -2$.
Tipp
Fehlt das Absolutglied (z. B. $x^3 - 4x$), brauchst Du keine Polynomdivision: einfach $x$ ausklammern. Bei $x^4 - 5x^2 + 4$ hilft die Substitution $z = x^2$.
Mit dem Polynomdivision-Rechner kannst Du Deine Lösung Schritt für Schritt kontrollieren – er rät auch Nullstellen und zerlegt die Funktion in Linearfaktoren. Weiter geht es mit der Kurvendiskussion.
Im Schema selbst rechnen
Hier füllst Du das Schema selbst aus – genau wie im Heft. Oben in die Zeile „Ergebnis“ kommen die Terme, die beim Teilen herauskommen. Darunter schreibst Du jeweils, was Du abziehst, und unter den Strich das, was nach dem Abziehen übrig bleibt.
- Schreibe jeden Term mit Vorzeichen in ein eigenes Feld, z. B.
-3x^2oder+6. Statt^2geht auch². - Mit Enter springst Du ins nächste Feld. „Prüfen“ zeigt Dir, welche Felder stimmen (grün) und welche nicht (rot).
- Weißt Du nicht weiter, erklärt „Tipp“ genau den Schritt, an dem Du gerade bist.
Noch mehr Aufgaben in drei Schwierigkeitsstufen findest Du im Polynomdivision-Trainer.
Übungsaufgaben
Stufe 3: alle Nullstellen bestimmen
-
Aufgabe 1
\(-x^{3} - 4x^{2} + x + 4 = 0\)\(-x^{3} - 4x^{2} + x + 4 = 0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -4,\; x_2 = -1,\; x_3 = 1\)
-
Aufgabe 2
\(x^{3} + x^{2} - 9x - 9 = 0\)\(x^{3} + x^{2} - 9x - 9 = 0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -3,\; x_2 = -1,\; x_3 = 3\)
-
Aufgabe 3
\(x^{3} - x^{2} - 9x + 9 = 0\)\(x^{3} - x^{2} - 9x + 9 = 0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -3,\; x_2 = 1,\; x_3 = 3\)
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Aufgabe 4
\(x^{3} - 2x^{2} - 16x + 32 = 0\)\(x^{3} - 2x^{2} - 16x + 32 = 0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -4,\; x_2 = 2,\; x_3 = 4\)
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Aufgabe 5
\(x^{3} + 6x^{2} + 8x = 0\)\(x^{3} + 6x^{2} + 8x = 0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -4,\; x_2 = -2,\; x_3 = 0\)
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Aufgabe 6
\(x^{3} - x^{2} - 4x + 4 = 0\)\(x^{3} - x^{2} - 4x + 4 = 0\quad\Rightarrow\quad x_1 = -2,\; x_2 = 1,\; x_3 = 2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Polynomdivision
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Weiterlesen: Polynomdivision bei Wikipedia