Steckbrief-Rechner
Bei einer Steckbriefaufgabe kennst Du einige Eigenschaften einer Funktion – zum Beispiel einen Hochpunkt und eine Nullstelle – und sollst die Funktionsgleichung finden. Gib die Eigenschaften hier ein: Der Rechner übersetzt sie in Gleichungen, löst das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren und macht die Probe.
Rechenweg
Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3. Ihre allgemeine Form hat 4 unbekannte Koeffizienten (a, b, c, d). Für jede Unbekannte brauchst Du eine Bedingung.
\[f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\]Ableitungen bilden
Für Bedingungen mit Steigung (Extrempunkte, Tangenten) brauchst Du f', für Wendepunkte f''. Abgeleitet wird mit der Potenzregel – die Buchstaben a, b, c … sind dabei ganz normale Zahlen.
\[f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c\]\[f''(x) = 6ax + 2b\]Bedingungen in Gleichungen übersetzen
Jede Information aus dem Text wird zu einer Gleichung: Ein Punkt P(x|y) bedeutet f(x) = y. Ein Hoch- oder Tiefpunkt bedeutet zusätzlich f'(x) = 0 (waagerechte Tangente), ein Wendepunkt f''(x) = 0. Setze die x-Werte in f, f' bzw. f'' ein:
\[\text{H(2|4)}:\quad f(2) = 4\quad\Rightarrow\quad 8a + 4b + 2c + d = 4\]\[\text{H(2|4)}:\quad f'(2) = 0\quad\Rightarrow\quad 12a + 4b + c = 0\]\[\text{W(1|2)}:\quad f(1) = 2\quad\Rightarrow\quad a + b + c + d = 2\]\[\text{W(1|2)}:\quad f''(1) = 0\quad\Rightarrow\quad 6a + 2b = 0\]Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren lösen
Die Gleichungen werden als Matrix geschrieben (eine Spalte je Unbekannte, rechts die Zahlen hinter dem Gleichheitszeichen). Dann werden Zeilen so voneinander abgezogen, dass immer mehr Nullen entstehen – am Ende steht die Lösung direkt da.
\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 8 & 4 & 2 & 1 & 4 \\ \text{II} & 12 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ \text{III} & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ \text{IV} & 6 & 2 & 0 & 0 & 0\end{array}\]\[\text{Tausche Zeile I und III;\ II neu = II − 12·I;\ III neu = III − 8·I;\ IV neu = IV − 6·I;\ IV : 2 (kürzen)}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ \text{II} & 0 & -8 & -11 & -12 & -24 \\ \text{III} & 0 & -4 & -6 & -7 & -12 \\ \text{IV} & 0 & -2 & -3 & -3 & -6\end{array}\]\[\text{Tausche Zeile II und IV;\ I neu = 2·I + II;\ III neu = III − 2·II;\ IV neu = IV − 4·II}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 2 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ \text{II} & 0 & -2 & -3 & -3 & -6 \\ \text{III} & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\]\[\text{Tausche Zeile III und IV;\ I neu = I + III;\ II neu = II + 3·III}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 2 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ \text{II} & 0 & -2 & 0 & -3 & -6 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\]\[\text{I neu = I − IV;\ I : 2 (kürzen);\ II neu = II − 3·IV;\ II : 2 (kürzen)}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \text{II} & 0 & -1 & 0 & 0 & -3 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\]\[\text{II : (-1);\ IV : (-1)}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \text{II} & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\]Lösung einsetzen
Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
\[a = -1,\quad b = 3,\quad c = 0,\quad d = 0\]\[f(x) = -x^{3} + 3x^{2}\]Probe
Zur Kontrolle setzt Du die x-Werte in die gefundene Funktion (bzw. ihre Ableitungen) ein. Alle Bedingungen müssen erfüllt sein:
\[f(2) = 4 \quad ✓\]\[f'(2) = 0 \quad ✓\]\[f(1) = 2 \quad ✓\]\[f''(1) = 0 \quad ✓\]
Graph
Die orangefarbenen Punkte sind die Punkte aus Deinen Bedingungen. Eine vollständige Untersuchung der Funktion macht der Kurvendiskussion-Rechner.
So gibst Du die Bedingungen ein
| Eigenschaft im Text | Eingabe | Daraus wird |
|---|---|---|
| Der Graph geht durch den Punkt P(1|3) | P(1|3) | \(f(1) = 3\) |
| Hochpunkt bzw. Tiefpunkt bei (2|4) | H(2|4), T(2|4) | \(f(2) = 4\) und \(f'(2) = 0\) |
| Wendepunkt bei (1|2) | W(1|2) | \(f(1) = 2\) und \(f''(1) = 0\) |
| Sattelpunkt (Terrassenpunkt) bei (0|0) | S(0|0) | \(f(0) = 0,\ f'(0) = 0,\ f''(0) = 0\) |
| Nullstelle bei x = 3 | Nullstelle 3 oder N(3|0) | \(f(3) = 0\) |
| Berührt die x-Achse bei x = 2 | doppelte Nullstelle bei x=2 | \(f(2) = 0\) und \(f'(2) = 0\) |
| Steigung 3 an der Stelle x = 1 | Steigung 3 bei x=1 | \(f'(1) = 3\) |
| Tangente y = 2x + 1 an der Stelle x = 1 | Tangente y = 2x + 1 bei x = 1 | \(f(1) = 3\) und \(f'(1) = 2\) |
| Extremstelle / Wendestelle bei x = 2 | Extremstelle bei x=2, Wendestelle bei x=2 | \(f'(2) = 0\) bzw. \(f''(2) = 0\) |
| Schneidet die y-Achse bei 5 | y-Achsenabschnitt 5 oder f(0)=5 | \(f(0) = 5\) |
| Symmetrisch zur y-Achse / zum Ursprung | achsensymmetrisch, punktsymmetrisch | nur gerade bzw. nur ungerade Hochzahlen |
Du kannst die Gleichungen auch direkt eingeben: f(2)=4, f'(2)=0, f''(1)=0. Brüche und Kommazahlen sind erlaubt, z. B. H(1/2|3,5).
Wie viele Bedingungen brauche ich?
So viele, wie die Funktion Unbekannte hat: Grad 2 braucht 3 Bedingungen, Grad 3 braucht 4, Grad 4 braucht 5. Ist die Funktion symmetrisch, fallen Unbekannte weg – dann reichen weniger. Achtung: Ein Hochpunkt zählt doppelt (Punkt und waagerechte Tangente), ein Sattelpunkt sogar dreifach.
Wie man Steckbriefaufgaben von Hand löst – mit ausführlichem Beispiel und typischen Formulierungen aus Klassenarbeiten – erklärt die Seite Steckbriefaufgaben.