Steckbrief-Rechner
Bei einer Steckbriefaufgabe kennst Du einige Eigenschaften einer Funktion – zum Beispiel einen Hochpunkt und eine Nullstelle – und sollst die Funktionsgleichung finden. Gib die Eigenschaften hier ein: Der Rechner übersetzt sie in Gleichungen, löst das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren und macht die Probe.
Rechenweg
Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3. Ihre allgemeine Form hat 4 unbekannte Koeffizienten (a, b, c, d). Für jede Unbekannte brauchst Du eine Bedingung.
\[f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\]Ableitungen bilden
Für Bedingungen mit Steigung (Extrempunkte, Tangenten) brauchst Du f', für Wendepunkte f''. Abgeleitet wird mit der Potenzregel – die Buchstaben a, b, c … sind dabei ganz normale Zahlen.
\[f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c\]\[f''(x) = 6ax + 2b\]Bedingungen in Gleichungen übersetzen
Jede Information aus dem Text wird zu einer Gleichung: Ein Punkt P(x|y) bedeutet f(x) = y. Ein Hoch- oder Tiefpunkt bedeutet zusätzlich f'(x) = 0 (waagerechte Tangente), ein Wendepunkt f''(x) = 0. Setze die x-Werte in f, f' bzw. f'' ein:
\[\text{S(0|0)}:\quad f(0) = 0\quad\Rightarrow\quad d = 0\]\[\text{S(0|0)}:\quad f'(0) = 0\quad\Rightarrow\quad c = 0\]\[\text{S(0|0)}:\quad f''(0) = 0\quad\Rightarrow\quad 2b = 0\]\[\text{P(3|9)}:\quad f(3) = 9\quad\Rightarrow\quad 27a + 9b + 3c + d = 9\]Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren lösen
Die Gleichungen werden als Matrix geschrieben (eine Spalte je Unbekannte, rechts die Zahlen hinter dem Gleichheitszeichen). Dann werden Zeilen so voneinander abgezogen, dass immer mehr Nullen entstehen – am Ende steht die Lösung direkt da.
\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \text{II} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{III} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 27 & 9 & 3 & 1 & 9\end{array}\]\[\text{Tausche Zeile I und IV}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 27 & 9 & 3 & 1 & 9 \\ \text{II} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{III} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\]\[\text{Tausche Zeile II und III;\ I neu = 2·I − 9·II;\ I : 2 (kürzen)}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 27 & 0 & 3 & 1 & 9 \\ \text{II} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\]\[\text{I neu = I − 3·III}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 27 & 0 & 0 & 1 & 9 \\ \text{II} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\]\[\text{I neu = I − IV;\ I : 9 (kürzen)}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \text{II} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\]\[\text{I : 3;\ II : 2}\]\[\begin{array}{l|rrrr|r}\text{I} & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ \text{II} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \text{III} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{IV} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\]Lösung einsetzen
Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
\[a = \frac{1}{3},\quad b = 0,\quad c = 0,\quad d = 0\]\[f(x) = \frac{1}{3}x^{3}\]Probe
Zur Kontrolle setzt Du die x-Werte in die gefundene Funktion (bzw. ihre Ableitungen) ein. Alle Bedingungen müssen erfüllt sein:
\[f(0) = 0 \quad ✓\]\[f'(0) = 0 \quad ✓\]\[f''(0) = 0 \quad ✓\]\[f(3) = 9 \quad ✓\]
Graph
Die orangefarbenen Punkte sind die Punkte aus Deinen Bedingungen. Eine vollständige Untersuchung der Funktion macht der Kurvendiskussion-Rechner.
So gibst Du die Bedingungen ein
| Eigenschaft im Text | Eingabe | Daraus wird |
|---|---|---|
| Der Graph geht durch den Punkt P(1|3) | P(1|3) | \(f(1) = 3\) |
| Hochpunkt bzw. Tiefpunkt bei (2|4) | H(2|4), T(2|4) | \(f(2) = 4\) und \(f'(2) = 0\) |
| Wendepunkt bei (1|2) | W(1|2) | \(f(1) = 2\) und \(f''(1) = 0\) |
| Sattelpunkt (Terrassenpunkt) bei (0|0) | S(0|0) | \(f(0) = 0,\ f'(0) = 0,\ f''(0) = 0\) |
| Nullstelle bei x = 3 | Nullstelle 3 oder N(3|0) | \(f(3) = 0\) |
| Berührt die x-Achse bei x = 2 | doppelte Nullstelle bei x=2 | \(f(2) = 0\) und \(f'(2) = 0\) |
| Steigung 3 an der Stelle x = 1 | Steigung 3 bei x=1 | \(f'(1) = 3\) |
| Tangente y = 2x + 1 an der Stelle x = 1 | Tangente y = 2x + 1 bei x = 1 | \(f(1) = 3\) und \(f'(1) = 2\) |
| Extremstelle / Wendestelle bei x = 2 | Extremstelle bei x=2, Wendestelle bei x=2 | \(f'(2) = 0\) bzw. \(f''(2) = 0\) |
| Schneidet die y-Achse bei 5 | y-Achsenabschnitt 5 oder f(0)=5 | \(f(0) = 5\) |
| Symmetrisch zur y-Achse / zum Ursprung | achsensymmetrisch, punktsymmetrisch | nur gerade bzw. nur ungerade Hochzahlen |
Du kannst die Gleichungen auch direkt eingeben: f(2)=4, f'(2)=0, f''(1)=0. Brüche und Kommazahlen sind erlaubt, z. B. H(1/2|3,5).
Wie viele Bedingungen brauche ich?
So viele, wie die Funktion Unbekannte hat: Grad 2 braucht 3 Bedingungen, Grad 3 braucht 4, Grad 4 braucht 5. Ist die Funktion symmetrisch, fallen Unbekannte weg – dann reichen weniger. Achtung: Ein Hochpunkt zählt doppelt (Punkt und waagerechte Tangente), ein Sattelpunkt sogar dreifach.
Wie man Steckbriefaufgaben von Hand löst – mit ausführlichem Beispiel und typischen Formulierungen aus Klassenarbeiten – erklärt die Seite Steckbriefaufgaben.