Steckbriefaufgaben
Bei einer Steckbriefaufgabe läuft alles „rückwärts“: Normalerweise hast Du eine Funktion und suchst ihre Hochpunkte, Nullstellen und so weiter. Hier ist es umgekehrt – Du kennst einige Eigenschaften und sollst daraus die Funktionsgleichung bauen. Man nennt das auch Rekonstruktion einer Funktion.
Warum „Steckbrief“?
Auf einem Fahndungs-Steckbrief stehen Merkmale einer Person: Größe, Haarfarbe, besondere Kennzeichen. Mit genug Merkmalen findest Du genau eine Person. Bei Funktionen ist es genauso: Mit genug Eigenschaften gibt es genau eine Funktion, die alle erfüllt.
Wie viele Eigenschaften brauche ich?
Eine ganzrationale Funktion hat unbekannte Zahlen (Koeffizienten), die Du herausfinden musst:
| Grad | allgemeine Form | Unbekannte | nötige Bedingungen |
|---|---|---|---|
| 2 | \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | a, b, c | 3 |
| 3 | \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) | a, b, c, d | 4 |
| 4 | \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) | a, b, c, d, e | 5 |
Die Faustregel: Grad + 1 Bedingungen. Jede Bedingung liefert eine Gleichung – und für n Unbekannte brauchst Du n Gleichungen.
Der wichtigste Schritt: Text in Gleichungen übersetzen
In der Aufgabe stehen die Eigenschaften meist als Text. Diese Tabelle hilft beim Übersetzen. Manche Formulierungen liefern gleich zwei Gleichungen – das wird oft übersehen!
| So steht es in der Aufgabe | Das bedeutet mathematisch |
|---|---|
| Der Graph geht durch P(2|5). | \(f(2) = 5\) |
| Der Graph schneidet die y-Achse bei 3. | \(f(0) = 3\) |
| Der Graph geht durch den Ursprung. | \(f(0) = 0\) |
| Bei x = 4 liegt eine Nullstelle. | \(f(4) = 0\) |
| Hochpunkt (oder Tiefpunkt) bei H(1|2) | \(f(1) = 2\) und \(f'(1) = 0\) |
| Bei x = 3 hat der Graph eine waagerechte Tangente / ein Extremum. | \(f'(3) = 0\) |
| Wendepunkt bei W(0|1) | \(f(0) = 1\) und \(f''(0) = 0\) |
| Sattelpunkt (Terrassenpunkt) bei S(2|0) | \(f(2) = 0,\ f'(2) = 0\) und \(f''(2) = 0\) |
| Der Graph berührt die x-Achse bei x = 1. | \(f(1) = 0\) und \(f'(1) = 0\) |
| Bei x = 2 hat der Graph die Steigung 3. | \(f'(2) = 3\) |
| Die Tangente bei x = 1 ist y = 2x + 4. | \(f(1) = 6\) (Punkt auf der Tangente) und \(f'(1) = 2\) |
| Die Wendetangente hat die Steigung −2 (Wendestelle x = 1). | \(f''(1) = 0\) und \(f'(1) = -2\) |
| Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. | nur gerade Hochzahlen: \(b = d = 0\) (bei Grad 3 bzw. 4) |
| Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. | nur ungerade Hochzahlen, auch das Absolutglied ist 0 |
Anleitung in fünf Schritten
- Allgemeine Form aufschreiben und die Ableitungen bilden, die Du brauchst (meist f' und f'').
- Bedingungen sammeln: Jede Eigenschaft aus dem Text in eine Gleichung der Form f(…) = … übersetzen (Tabelle oben).
- Einsetzen: Die x-Werte in f, f' bzw. f'' einsetzen. So entsteht ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b, c, …
- Gleichungssystem lösen – mit dem Einsetzungs-, Additions- oder Gauß-Verfahren.
- Funktionsgleichung angeben und Probe machen: Erfüllt die gefundene Funktion wirklich alle Bedingungen?
Ausführliches Beispiel
Der Graph einer Funktion 3. Grades hat den Hochpunkt H(2|4) und den Wendepunkt W(1|2). Bestimme die Funktionsgleichung.
1. Allgemeine Form und Ableitungen:
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(\quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\), \(\quad f''(x) = 6ax + 2b\)
2. Bedingungen: Der Hochpunkt liefert zwei, der Wendepunkt auch zwei – zusammen genau die vier, die wir brauchen.
- H(2|4) liegt auf dem Graphen: \(f(2) = 4\)
- Bei H ist die Tangente waagerecht: \(f'(2) = 0\)
- W(1|2) liegt auf dem Graphen: \(f(1) = 2\)
- Bei W ist die Krümmung 0: \(f''(1) = 0\)
3. Einsetzen:
4. Lösen: Aus IV folgt \(b = -3a\). Das setzen wir überall ein:
- II: \(12a - 12a + c = 0\), also \(c = 0\).
- I − III: \(7a + 3b + c = 2\). Mit \(b = -3a\) und \(c = 0\): \(7a - 9a = 2\), also \(a = -1\).
- Dann ist \(b = 3\), und aus III: \(-1 + 3 + 0 + d = 2\), also \(d = 0\).
5. Ergebnis: \(f(x) = -x^3 + 3x^2\). Probe: \(f(2) = -8 + 12 = 4\) ✓, \(f'(2) = -12 + 12 = 0\) ✓, \(f(1) = 2\) ✓, \(f''(1) = -6 + 6 = 0\) ✓
Zusatz-Check: \(f''(2) = -12 + 6 = -6 < 0\) – bei x = 2 liegt also wirklich ein Hochpunkt.
Typische Fehler
- Nur eine Gleichung aus einem Extrempunkt gemacht: „Hochpunkt bei (2|4)“ steckt voller Information – der Punkt liegt auf dem Graphen und die Steigung ist dort 0.
- Falsche Ableitung benutzt: Steigung → f', Krümmung/Wendepunkt → f''. Punkte immer in f selbst.
- Vorzeichen beim Einsetzen negativer Zahlen: \(f(-2) = a \cdot (-2)^3 + \ldots = -8a + \ldots\). Klammern um negative Zahlen schützen vor Fehlern.
- Art des Extrempunkts nicht geprüft: Die Gleichungen f = y und f' = 0 gelten für Hoch- und Tiefpunkte. Ob wirklich ein Hochpunkt herauskommt, verrät erst f''.
Tipp: Symmetrie spart Arbeit
Steht in der Aufgabe „symmetrisch zur y-Achse“, kannst Du alle Summanden mit ungerader Hochzahl gleich weglassen. Aus einer Funktion 4. Grades wird dann \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\) – nur noch drei Unbekannte statt fünf.
Übungsaufgaben
Gib die Funktionsgleichung ein, z. B. -x^3 + 3x^2. Brüche als 1/4x^4.
Stufe 2: Funktionen 3. Grades
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Aufgabe 1
\(\text{Grad 3: } T\left(0 \,\middle|\, -4\right),\ W\left(1 \,\middle|\, -2\right)\)\(f(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 4\)
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Aufgabe 2
\(\text{Grad 3: } H\left(-3 \,\middle|\, 0\right),\ W\left(-2 \,\middle|\, -2\right)\)\(f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 9x\)
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Aufgabe 3
\(\text{Grad 3: } H\left(-1 \,\middle|\, 5\right),\ W\left(0 \,\middle|\, 3\right)\)\(f(x) = x^{3} - 3x + 3\)
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Aufgabe 4
\(\text{Grad 3: } H\left(1 \,\middle|\, 5\right),\ W\left(2 \,\middle|\, 3\right)\)\(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Steckbriefaufgaben
Bis zu 6 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Deine eigene Steckbriefaufgabe rechnet der Steckbrief-Rechner mit vollständigem Rechenweg (inklusive Gauß-Verfahren). Wie man Gleichungssysteme löst, steht unter Lineare Gleichungssysteme.
Weiterlesen: Rekonstruktion (Mathematik) bei Wikipedia