Wendetangente berechnen
Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt einer Funktion. Sie ist eine besondere Tangente: Im Wendepunkt ändert der Graph seine Krümmung, und die Wendetangente „durchschneidet“ den Graphen dort, statt ihn nur zu berühren. In Klassenarbeiten und im Abitur ist sie ein Klassiker.
Was ist ein Wendepunkt?
Stell Dir vor, Du fährst mit dem Fahrrad den Graphen entlang. In einer Linkskurve lenkst Du nach links, in einer Rechtskurve nach rechts. Der Punkt, an dem Du umlenken musst – also gerade geradeaus fährst –, ist der Wendepunkt. Dort ist die Krümmung 0, und die Krümmung misst die zweite Ableitung. Deshalb gilt am Wendepunkt \(f''(x) = 0\).
Anleitung: Wendetangente in vier Schritten
- Wendestelle berechnen: Löse \(f''(x) = 0\). Die Lösung nennen wir \(x_W\).
- Prüfen: Ist \(f'''(x_W) \neq 0\), liegt sicher ein Wendepunkt vor. (Ist \(f'''(x_W) = 0\), prüfst Du stattdessen, ob \(f''\) an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt.)
- Wendepunkt und Steigung: y-Wert \(y_W = f(x_W)\) und Steigung \(m = f'(x_W)\) berechnen.
- Tangentengleichung: Einsetzen in \(t(x) = m \cdot (x - x_W) + y_W\) und ausmultiplizieren.
Beispiel
Gegeben ist \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
Ableitungen: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9,\quad f''(x) = 6x - 12,\quad f'''(x) = 6\)
1. Wendestelle: \(6x - 12 = 0 \;\Leftrightarrow\; x_W = 2\)
2. Prüfen: \(f'''(2) = 6 \neq 0\) ✓ – also ist bei \(x = 2\) ein Wendepunkt.
3. Punkt und Steigung: \(f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3\), also \(W(2 \mid 3)\). Steigung: \(m = f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3\).
4. Tangente: \(t(x) = -3 \cdot (x - 2) + 3 = -3x + 6 + 3 = -3x + 9\)
Sonderfall: Sattelpunkt
Ist im Wendepunkt zusätzlich \(f'(x_W) = 0\), dann ist die Wendetangente waagerecht. So einen Punkt nennt man Sattelpunkt oder Terrassenpunkt – der Graph macht dort kurz eine „Pause“, steigt (oder fällt) danach aber weiter. Beispiel: \(f(x) = x^3\) im Ursprung.
Tipp: Funktionen 3. Grades
Jede Funktion 3. Grades hat genau einen Wendepunkt, und ihr Graph ist punktsymmetrisch zu diesem Wendepunkt. Bei \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) liegt die Wendestelle immer bei \(x_W = -\frac{b}{3a}\) – praktisch zur Kontrolle.
Rechner: Wendepunkte und Wendetangenten
Ergebnis
Die Wendetangente lautet:
Rechenweg
Ableitungen bilden
Für Wendepunkte brauchst Du die zweite Ableitung (sie beschreibt die Krümmung), für die Prüfung die dritte und für die Steigung der Tangente die erste.
\[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\]\[f'(x) = \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}\,x\]\[f''(x) = \mathrm{e}^{-x}\,\left(x - 2\right)\]\[f'''(x) = -\mathrm{e}^{-x}\,\left(x - 3\right)\]Notwendige Bedingung: f''(x) = 0
An einem Wendepunkt wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve (oder umgekehrt). Genau dort ist die Krümmung 0, also f''(x) = 0.
\[f''(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-x}\,\left(x - 2\right) = 0\]\[x_1 = 2\]Hinreichende Bedingung prüfen
Nicht jede Nullstelle von f'' ist eine Wendestelle. Ist f'''(x) ≠ 0, ist es sicher eine. Ist f'''(x) = 0, prüfst Du, ob f'' dort das Vorzeichen wechselt.
\[f'''(2) \approx 0{,}135 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendestelle}\]Wendetangente im Wendepunkt W
y-Wert: x in f einsetzen. Steigung: x in f' einsetzen. Dann in die Tangentengleichung t(x) = m·(x − x_W) + f(x_W) einsetzen und vereinfachen.
\[f(2) = 2\,\mathrm{e}^{-2}\quad\Rightarrow\quad W\left(2 \,\middle|\, 2\,\mathrm{e}^{-2}\right)\]\[m = f'(2) = -\mathrm{e}^{-2}\]\[t(x) = -\mathrm{e}^{-2} \cdot \left(x - 2\right) + 2\,\mathrm{e}^{-2} = -\mathrm{e}^{-2}\,x + 4\,\mathrm{e}^{-2}\]
Graph
Die gestrichelten Geraden sind die Wendetangenten. Am Wendepunkt geht die Tangente durch den Graphen hindurch – das ist typisch für Wendepunkte.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Funktionen 3. Grades
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Aufgabe 1
\(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 28x + 28\)\(t(x) = -x + 1\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -2x^{3} + 18x^{2} - 52x + 53\)\(t(x) = 2x - 1\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -x^{3} + 2x + 1\)\(t(x) = 2x + 1\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = 2x^{3} - 12x^{2} + 25x - 23\)\(t(x) = x - 7\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -2x^{3} + 6x^{2} - 9x + 9\)\(t(x) = -3x + 7\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wendepunkt und Wendetangente
Bis zu 6 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Wie man allgemein Tangenten berechnet, steht auf der Seite Ableitung. Alle besonderen Punkte einer Funktion auf einmal findet der Kurvendiskussion-Rechner.
Weiterlesen: Wendepunkt bei Wikipedia