Kongruenz und Ähnlichkeit
Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie genau aufeinanderpassen – wie zwei gleiche Puzzleteile. Sie sind ähnlich, wenn die eine eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen ist – wie ein Foto und sein Abzug in einem anderen Format.
Merke
- Kongruent (deckungsgleich): gleiche Form und gleiche Größe. Alle Seiten und alle Winkel stimmen überein.
- Ähnlich: gleiche Form, aber die Größe darf sich ändern. Alle Winkel stimmen überein, alle Seiten werden mit demselben Faktor k multipliziert.
- Kongruente Figuren sind also immer auch ähnlich – mit $k = 1$.
Rechner: Kongruenzsatz prüfen und mit k rechnen
Die vier Kongruenzsätze
Muss man wirklich alle drei Seiten und alle drei Winkel vergleichen, um zu wissen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Nein – drei passende Stücke genügen. Welche Kombinationen funktionieren, sagen die Kongruenzsätze. S steht für eine Seite, W für einen Winkel.
| Satz | Was ist gegeben? | Beispiel | Merkhilfe |
|---|---|---|---|
| SSS | drei Seiten | $a$, $b$, $c$ | Drei Stäbe lassen sich nur auf eine Art zu einem Dreieck zusammenstecken. |
| SWS | zwei Seiten und der Winkel dazwischen | $a$, $b$, $\gamma$ | Das W steht in der Mitte – der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten. |
| WSW | eine Seite und die beiden anliegenden Winkel | $c$, $\alpha$, $\beta$ | Das S steht in der Mitte. Ist ein Winkel gegenüber gegeben, rechnet man den dritten mit der Winkelsumme aus. |
| SsW | zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren Seite | $a = 8$, $b = 5$, $\alpha$ | Großes S = größere Seite, und der Winkel liegt ihr gegenüber. |
Beispiel: Welcher Satz passt?
Gegeben sind $a = 5\,\text{cm}$, $b = 7\,\text{cm}$ und $\gamma = 40^\circ$.
- Gezählt: zwei Seiten und ein Winkel.
- Wo liegt der Winkel? $\gamma$ liegt gegenüber von $c$ – also genau zwischen $a$ und $b$.
- Also SWS: Das Dreieck ist eindeutig. Wer es mit diesen Angaben zeichnet, bekommt immer dasselbe Dreieck.
Vorsicht: Winkel an der kleineren Seite
Sind zwei Seiten gegeben und der Winkel liegt der kleineren Seite gegenüber, gibt es oft zwei verschiedene Dreiecke. In der Skizze ist $b = \overline{AC} = 5$, $\alpha = 35^\circ$ und $a = 3{,}5$. Der Kreis um C mit Radius 3,5 trifft den freien Schenkel zweimal – in $B_1$ und in $B_2$:
Typischer Fehler
„Zwei Seiten und ein Winkel“ reicht nicht automatisch! Prüfe immer, wo der Winkel liegt: zwischen den Seiten (SWS) oder gegenüber der größeren Seite (SsW) – dann ist alles gut. Liegt er gegenüber der kleineren Seite, ist das Dreieck nicht eindeutig.
Und drei Winkel (WWW)? Die legen nur die Form fest, nicht die Größe. Ein kleines und ein großes gleichseitiges Dreieck haben beide drei 60°-Winkel – sie sind ähnlich, aber nicht kongruent.
Wozu braucht man Kongruenzsätze?
- Konstruieren: Ein Kongruenzsatz sagt Dir, dass Deine Angaben für eine eindeutige Zeichnung reichen.
- Beweisen: Zeigt man, dass zwei Teildreiecke kongruent sind, weiß man sofort, dass auch alle anderen Seiten und Winkel gleich sind. So beweist man zum Beispiel, dass die Diagonalen eines Parallelogramms sich halbieren.
- Berechnen: Ist das Dreieck eindeutig, kann man die fehlenden Stücke ausrechnen – mit dem Dreiecksrechner (Sinus- und Kosinussatz).
Ähnliche Figuren und der Faktor k
Bei ähnlichen Figuren wird jede Strecke mit demselben Faktor $k$ multipliziert. Die Winkel bleiben gleich.
- $k > 1$: Vergrößerung, $\;0 < k < 1$: Verkleinerung, $\;k = 1$: gleich groß (kongruent).
- Ein Maßstab 1 : 50 bedeutet beim Modell $k = \frac{1}{50}$ – und vom Modell zum Original $k = 50$.
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Ganz ähnlich wie bei den Kongruenzsätzen genügen auch hier wenige Angaben:
| Satz | Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn … |
|---|---|
| WW | … sie in zwei Winkeln übereinstimmen (der dritte ist dann wegen 180° automatisch gleich). |
| sss | … alle drei Seitenverhältnisse gleich sind: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$. |
| sws | … zwei Seitenverhältnisse gleich sind und der Winkel dazwischen übereinstimmt. |
Die Strahlensätze sind eine Anwendung davon: Die Parallelen schneiden zwei ähnliche Dreiecke aus – beide haben den Winkel bei Z gemeinsam, und die Stufenwinkel an den Parallelen sind gleich (WW).
Flächen mit k², Volumen mit k³
Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge wird mit $k = 2$ vergrößert: Die Seite ist jetzt 2 cm, die Fläche aber $2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2$ – viermal so groß. Denn Länge und Breite verdoppeln sich. Beim Würfel kommen noch die Höhe dazu: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$-mal so viel Volumen.
Merke
Beispiel: Pizza
Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser statt 20 cm: $k = \frac{30}{20} = 1{,}5$. Die Fläche ist $1{,}5^2 = 2{,}25$-mal so groß. Kostet die große Pizza weniger als das 2,25-Fache der kleinen, ist sie das bessere Angebot.
Beispiel: Modell rückwärts
Eine Statue ist 4-mal so groß wie ihr Modell. Das Modell wiegt 2 kg. Bei gleichem Material wächst das Gewicht mit dem Volumen: $4^3 = 64$, also wiegt die Statue etwa $64 \cdot 2\,\text{kg} = 128\,\text{kg}$.
Typischer Fehler
„Doppelt so lang, also doppelt so viel Fläche“ – das stimmt nicht. Wird die Fläche verdoppelt, wächst jede Strecke nur mit $k = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.
Online üben
Stufe 1: Welcher Kongruenzsatz passt? Stufe 2: Strecken mit k. Stufe 3: Flächen und Volumen.
Stufe 2: ähnliche Figuren: Strecken
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Aufgabe 1
\(a = 8,\ a' = 20,\ b = 12:\ b'\)\(k = 2{,}5 \;\Rightarrow\; b' = 30\)
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Aufgabe 2
\(a = 16,\ a' = 40,\ b = 4:\ b'\)\(k = 2{,}5 \;\Rightarrow\; b' = 10\)
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Aufgabe 3
\(\text{Original: } a = 6\,\text{cm, Bild: } a' = 15\,\text{cm}.\ \text{Ähnlichkeitsfaktor } k\)\(k = \frac{15}{6} = 2{,}5\)
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Aufgabe 4
\(k = 0{,}5,\ b = 8\,\text{cm}:\ b'\)cm\(b' = 0{,}5 \cdot 8 = 4\,\text{cm}\)
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Aufgabe 5
\(\text{Original: } a = 12\,\text{cm, Bild: } a' = 36\,\text{cm}.\ \text{Ähnlichkeitsfaktor } k\)\(k = \frac{36}{12} = 3\)
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Aufgabe 6
\(a = 14,\ a' = 21,\ b = 12:\ b'\)\(k = 1{,}5 \;\Rightarrow\; b' = 18\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
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