Bedingte Wahrscheinlichkeit
Oft weiß man schon etwas über das Ergebnis eines Zufallsversuchs – zum Beispiel, dass ein Test positiv ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis unter dieser Bedingung ist. Die wichtigsten Werkzeuge dafür sind die Vierfeldertafel und das Baumdiagramm.
Die Vierfeldertafel
Untersucht man zwei Merkmale A und B gleichzeitig, gibt es vier Kombinationen. Beispiel: In einer Schule mit 200 Schülerinnen und Schülern sind 120 Mädchen (A), 80 tragen eine Brille (B), und 50 Mädchen tragen eine Brille.
| \(B\) | \(\overline{B}\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(50\) | \(70\) | \(120\) |
| \(\overline{A}\) | \(30\) | \(50\) | \(80\) |
| Summe | \(80\) | \(120\) | \(200\) |
Die gelb markierten Werte waren gegeben. Der Rest ergibt sich, weil in jeder Zeile und Spalte die inneren Felder zusammen die Randsumme ergeben: $120 - 50 = 70$, $80 - 50 = 30$ usw.
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Merke
Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist der Anteil von $A \cap B$ an A:
Umgestellt ergibt sich die Pfadregel: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$.
Beispiel
Wie wahrscheinlich trägt ein zufällig gewähltes Mädchen eine Brille? Die Bedingung „Mädchen“ schränkt die Grundmenge auf 120 ein:
Umgekehrt: Wie wahrscheinlich ist eine Person mit Brille ein Mädchen? $P_B(A) = \frac{50}{80} = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%$.
Achtung
$P_A(B)$ und $P_B(A)$ sind fast immer verschieden! Entscheidend ist, wodurch man teilt – die Bedingung steht immer im Nenner.
Baumdiagramm und umgekehrter Baum
Im Baumdiagramm stehen auf der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Vierfeldertafel passt zu zwei Bäumen – je nachdem, mit welchem Merkmal man beginnt:
Zuerst A (Mädchen), dann B (Brille)
Zuerst B, dann A
Am Ende jedes Pfades steht dieselbe Zahl wie im passenden Feld der Vierfeldertafel (bezogen auf die Gesamtzahl), z. B. $P(A \cap B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{4} = \frac{50}{200}$.
Satz von Bayes – das Test-Beispiel
Eine Krankheit K tritt bei 1 % der Bevölkerung auf. Ein Test erkennt sie in 95 % der Fälle (T: Test positiv), schlägt aber auch bei 10 % der Gesunden falsch an. Wie wahrscheinlich ist man krank, wenn der Test positiv ist?
| \(B\) | \(\overline{B}\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(0{,}0095\) | \(0{,}0005\) | \(0{,}01\) |
| \(\overline{A}\) | \(0{,}099\) | \(0{,}891\) | \(0{,}99\) |
| Summe | \(0{,}1085\) | \(0{,}8915\) | \(1\) |
Obwohl der Test 95 % der Kranken erkennt, ist nur gut jede elfte Person mit positivem Test wirklich krank – weil es viel mehr Gesunde gibt, bei denen der Test falsch anschlägt. Diese Umkehrung der Bedingung heißt Satz von Bayes:
Stochastische Unabhängigkeit
Merke
A und B heißen unabhängig, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit von B nicht verändert, also $P_A(B) = P(B)$. Gleichwertig:
Im Schulbeispiel ist $P(A) \cdot P(B) = \frac{120}{200} \cdot \frac{80}{200} = 0{,}24$, aber $P(A \cap B) = \frac{50}{200} = 0{,}25$. Brille und Geschlecht sind hier also (knapp) abhängig.
Mit dem Vierfeldertafel-Rechner kannst Du jede Tafel aus drei Angaben ausfüllen lassen – inklusive aller bedingten Wahrscheinlichkeiten und beider Baumdiagramme.
Übungsaufgaben
Stufe 2: Baumdiagramm umkehren (Bayes)
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Aufgabe 1
\(P(A) = 0{,}4,\ P_A(B) = 0{,}8,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)\(P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}8 + 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}68,\quad P_B(A) = \frac{0{,}32}{0{,}68} \approx 0{,}471\)
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Aufgabe 2
\(P(A) = 0{,}3,\ P_A(B) = 0{,}8,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)\(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}8 + 0{,}7 \cdot 0{,}5 = 0{,}59,\quad P_B(A) = \frac{0{,}24}{0{,}59} \approx 0{,}407\)
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Aufgabe 3
\(P(A) = 0{,}2,\ P_A(B) = 0{,}5,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)\(P(B) = 0{,}2 \cdot 0{,}5 + 0{,}8 \cdot 0{,}4 = 0{,}42,\quad P_B(A) = \frac{0{,}1}{0{,}42} \approx 0{,}238\)
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Aufgabe 4
\(P(A) = 0{,}3,\ P_A(B) = 0{,}8,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}1:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)\(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}8 + 0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}31,\quad P_B(A) = \frac{0{,}24}{0{,}31} \approx 0{,}774\)
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Aufgabe 5
\(P(A) = 0{,}1,\ P_A(B) = 0{,}7,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}3:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)\(P(B) = 0{,}1 \cdot 0{,}7 + 0{,}9 \cdot 0{,}3 = 0{,}34,\quad P_B(A) = \frac{0{,}07}{0{,}34} \approx 0{,}206\)
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Aufgabe 6
\(P(A) = 0{,}2,\ P_A(B) = 0{,}8,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)\(P(B) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 + 0{,}8 \cdot 0{,}4 = 0{,}48,\quad P_B(A) = \frac{0{,}16}{0{,}48} \approx 0{,}333\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel
Bis zu 6 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Abitur-Aufgabe zum Üben
Vierfeldertafel und Baumdiagramm im Sachzusammenhang – mit der Frage nach stochastischer Unabhängigkeit. Tippe Deine Ergebnisse ein und lass sie sofort prüfen. Weitere Aufgaben findest Du unter Abitur-Aufgaben üben.
Medizinischer Schnelltest · 10 Punkte wie in der Prüfung
Eine Krankheit haben 5 % der Menschen. Ein Schnelltest zeigt bei Kranken mit 98 % Wahrscheinlichkeit „positiv“. Bei Gesunden zeigt er mit 95 % Wahrscheinlichkeit richtig „negativ“. Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet.
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Teilaufgabe a) · 3 P.
\(\text{Berechne } P(\text{positiv}) \text{ (auf 4 Stellen runden).}\)\(0{,}05 \cdot 0{,}98 + 0{,}95 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}0965\)
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Teilaufgabe b) · 4 P.
\(\text{Der Test ist positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person krank? (3 Stellen)}\)\(P_{\text{pos}}(\text{krank}) = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}98}{0{,}0965} \approx 0{,}508\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Der Test ist negativ. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person gesund? (4 Stellen)}\)\(P_{\text{neg}}(\text{gesund}) = \frac{0{,}95 \cdot 0{,}95}{0{,}9035} \approx 0{,}9989\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
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