Matrizen
Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle aus Zahlen. Mit Matrizen kann man Gleichungssysteme übersichtlich aufschreiben und lösen, Punkte im Raum verschieben, drehen oder spiegeln – und in der Oberstufe begegnen sie Dir bei Übergangsprozessen und in der analytischen Geometrie.
Was ist eine Matrix?
Eine Matrix hat Zeilen (waagerecht) und Spalten (senkrecht). Eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten heißt 2×3-Matrix (sprich: „zwei Kreuz drei“):
Jeder Eintrag hat zwei Nummern: zuerst die Zeile, dann die Spalte. Der Eintrag \(a_{23}\) steht also in Zeile 2 und Spalte 3 – hier ist das die 5. Merkhilfe: Zeile zuerst, Spalte später.
Hat eine Matrix gleich viele Zeilen wie Spalten, heißt sie quadratisch. Die quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und sonst Nullen heißt Einheitsmatrix \(E\) – sie spielt bei Matrizen dieselbe Rolle wie die Zahl 1 bei Zahlen.
Addieren und Vervielfachen
Zwei Matrizen gleicher Größe addierst Du, indem Du die Einträge an derselben Stelle addierst. Beim Vervielfachen nimmst Du jeden Eintrag mit der Zahl mal:
Matrizen multiplizieren: Zeile mal Spalte
Das Multiplizieren ist anders als bei der Addition. Für den Eintrag in Zeile i und Spalte j nimmst Du die i-te Zeile der ersten Matrix und die j-te Spalte der zweiten Matrix, multiplizierst sie Zahl für Zahl und addierst alles – genau wie beim Skalarprodukt.
Beispiel
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\]
Zwei wichtige Regeln
- A · B geht nur, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen. Eine 2×3-Matrix kannst Du mit einer 3×4-Matrix multiplizieren – das Ergebnis ist eine 2×4-Matrix.
- Die Reihenfolge ist wichtig: Meistens ist \(A \cdot B \neq B \cdot A\). Bei Zahlen ist \(3 \cdot 5 = 5 \cdot 3\), bei Matrizen gilt das im Allgemeinen nicht.
Die Determinante
Die Determinante ist eine Zahl, die man aus einer quadratischen Matrix berechnet. Sie verrät Dir sofort: Ist sie 0, hat ein Gleichungssystem mit dieser Matrix keine eindeutige Lösung und die Matrix hat keine Inverse.
2×2-Matrix: Hauptdiagonale mal, minus Nebendiagonale mal:
3×3-Matrix – Regel von Sarrus: Schreibe die ersten beiden Spalten noch einmal rechts daneben. Dann rechnest Du die drei Produkte entlang der Diagonalen von links oben nach rechts unten plus und die drei Produkte von rechts oben nach links unten minus.
Tipp
Die Regel von Sarrus funktioniert nur für 3×3-Matrizen. Bei größeren Matrizen bringst Du die Matrix mit dem Gauß-Verfahren auf Dreiecksform und multiplizierst die Diagonale – der Rechner zeigt, wie das geht.
Die inverse Matrix
Zu einer Zahl wie 4 gibt es den Kehrwert \(\frac{1}{4}\), denn \(4 \cdot \frac{1}{4} = 1\). Genauso gibt es zu vielen quadratischen Matrizen eine inverse Matrix \(A^{-1}\) mit \(A \cdot A^{-1} = E\). Es gibt sie genau dann, wenn \(\det(A) \neq 0\) ist.
Für 2×2-Matrizen gibt es eine Formel: Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale mit −1 malnehmen, alles durch die Determinante teilen:
Für größere Matrizen nutzt Du das Gauß-Jordan-Verfahren: Schreibe die Einheitsmatrix rechts neben A und forme so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann \(A^{-1}\).
Gleichungssysteme in Matrixform
Ein Gleichungssystem wie
schreibst Du kurz als erweiterte Koeffizientenmatrix – nur die Zahlen, ohne x, y, z. Hinter den Strich kommt die rechte Seite:
Mit dem Gauß-Verfahren ziehst Du dann Vielfache einer Zeile von den anderen ab, bis unten links nur Nullen stehen (Stufenform). Beim Gauß-Jordan-Verfahren machst Du weiter, bis links die Einheitsmatrix steht – dann kannst Du die Lösung direkt ablesen. Ausführlich erklärt ist das unter Lineare Gleichungssysteme.
Erlaubte Zeilenumformungen
- Zwei Zeilen vertauschen.
- Eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 malnehmen.
- Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren (oder davon abziehen).
Diese drei Umformungen ändern die Lösung eines Gleichungssystems nicht. Achtung bei der Determinante: Vertauschen ändert das Vorzeichen, Malnehmen mit k macht die Determinante k-mal so groß – nur das Addieren lässt sie unverändert.
Übungsaufgaben: Determinanten
Stufe 2: 3×3-Matrizen
-
Aufgabe 1
\(\det\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & -3 \\ 4 & -4 & 1 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & -3 \\ 4 & -4 & 1 \end{pmatrix} = -22\)
-
Aufgabe 2
\(\det\begin{pmatrix} -3 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -5 \\ 5 & -5 & 1 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} -3 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -5 \\ 5 & -5 & 1 \end{pmatrix} = 86\)
-
Aufgabe 3
\(\det\begin{pmatrix} 6 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -2 \\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 6 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -2 \\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix} = 108\)
-
Aufgabe 4
\(\det\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 21\)
-
Aufgabe 5
\(\det\begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ -4 & -5 & 4 \\ 4 & 6 & 5 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ -4 & -5 & 4 \\ 4 & 6 & 5 \end{pmatrix} = -169\)
-
Aufgabe 6
\(\det\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 4 & -1 & 6 \\ 6 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)\(\det\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 4 & -1 & 6 \\ 6 & 5 & 6 \end{pmatrix} = -186\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Determinanten berechnen
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Alle Rechenarten kannst Du mit dem Matrizenrechner ausprobieren – mit vollständigem Rechenweg.
Weiterlesen: Matrix (Mathematik) bei Wikipedia