Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine Funktion ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Polstellen und Asymptoten, Monotonie, Krümmung und Verhalten an den Rändern. Das klappt für Polynome ebenso wie für e-Funktionen, ln-Funktionen, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = x\,\sqrt{4 - x^{2}}$:
| Definitionsbereich | \(D = \left[-2;\ 2\right]\) |
|---|---|
| Nullstellen | \(-2\), \(0\), \(2\) |
| Hochpunkte | \(H\left(\sqrt{2} \,\middle|\, 2\right)\) |
| Tiefpunkte | \(T\left(-\sqrt{2} \,\middle|\, -2\right)\) |
| Wendepunkte | \(W\left(0 \,\middle|\, 0\right)\) |
| Asymptoten | keine |
Werte mit ≈ sind auf drei Nachkommastellen gerundet. Exakte Werte wurden mit dem Computeralgebrasystem Maxima berechnet.
Rechenweg
Ableitungen
Die Ableitungen wurden mit den Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) gebildet und vereinfacht. Den ausführlichen Rechenweg zeigt der Ableitungsrechner.
\[f(x) = x\,\sqrt{4 - x^{2}}\]\[f'(x) = -\frac{2\,x^{2} - 4}{\sqrt{4 - x^{2}}}\]\[f''(x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}\,\left(2\,x^{3} - 12\,x\right)}{x^{4} - 8\,x^{2} + 16}\]\[f'''(x) = -\frac{48}{\sqrt{4 - x^{2}}\,\left(x^{4} - 8\,x^{2} + 16\right)}\]Definitionsbereich
Ausgeschlossen sind alle x, für die ein Nenner 0 wird, ein Logarithmus kein positives Argument hat oder unter einer Wurzel eine negative Zahl steht. Daraus ergeben sich die Bedingungen:
\[4 - x^{2} \geq 0\quad \text{(Wurzel)}\]\[D = \left[-2;\ 2\right]\]Symmetrie
Es gilt f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
\[f(-x) = -f(x)\]Verhalten an den Rändern und Asymptoten
Untersucht wird, wie sich f(x) für x → ±∞ und bei Annäherung an die Ränder bzw. Lücken des Definitionsbereichs verhält. Strebt f(x) gegen ±∞, hat der Graph dort eine senkrechte Asymptote; strebt f(x) für x → ±∞ gegen eine Zahl, eine waagerechte.
\[\lim_{x \to -2^+} f(x) = 0\]\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein.
\[f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, 0\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist; ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht). Faktoren wie eˣ werden nie 0.
\[f(x) = 0\]\[x_{1} = -2,\quad x_{2} = 0,\quad x_{3} = 2\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0 (Tiefpunkt); ist f''(x) = 0, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f'.
\[f'(x) = -\frac{2\,x^{2} - 4}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0\]\[f''(-\sqrt{2}) = 4 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(-\sqrt{2}) = -2\]\[f''(\sqrt{2}) = -4 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(\sqrt{2}) = 2\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ≠ 0 bzw. ein Vorzeichenwechsel von f''. Ist dort zusätzlich f'(x) = 0, ist es ein Sattelpunkt.
\[f''(x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}\,\left(2\,x^{3} - 12\,x\right)}{x^{4} - 8\,x^{2} + 16} = 0\]\[f'''(0) = -\frac{3}{2} \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(0) = 0\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' und den Lücken des Definitionsbereichs ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-2;\ -\sqrt{2}\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \(\left(-\sqrt{2};\ \sqrt{2}\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(\sqrt{2};\ 2\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt, wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-2;\ 0\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt \(\left(0;\ 2\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt; gestrichelt: Asymptoten.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen, Wurzeln, e und π:
- Polynome rechnet er Schritt für Schritt wie im Unterricht: Ausklammern, Nullstelle raten mit Polynomdivision, pq- bzw. abc-Formel.
- Alle anderen Funktionen (e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen) untersucht er mit dem Computeralgebrasystem Maxima: Definitionsbereich, Polstellen und hebbare Lücken, senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten, Grenzwerte an den Rändern und alle besonderen Punkte. Jede gefundene Stelle wird zusätzlich numerisch geprüft.
- Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈. Bei trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen – angegeben werden die im Intervall [−2π; 2π].
Eingabe: x^3 für x³, e^(-x) oder exp(-x), ln(x), sqrt(x) für √x, sin(x), Brüche mit / wie (x^2-4)/(x-1), Malpunkt * darf fehlen: 2x e^x. Den Rechenweg der Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion. Steht in Deiner Funktion ein Parameter wie a oder k (eine Funktionenschar), nutze den Funktionenschar-Rechner – er berechnet die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und die Ortskurve.