Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 14 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Gegeben ist f(x) = (x + 1) · e^(−x). Es gilt f′(x) = −x · e^(−x) und f″(x) = (x − 1) · e^(−x). Eine Stammfunktion ist F(x) = −(x + 2) · e^(−x). Tipp: e^(−x) ist nie 0 – eine Gleichung wie (…) · e^(−x) = 0 löst Du, indem Du nur die Klammer gleich 0 setzt.
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1 P.
\(\text{Nullstelle von f}\)Lösung: \((x + 1) \cdot e^{-x} = 0 \;\Rightarrow\; x = -1\)
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3 P.
\(\text{Hochpunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)Lösung: \(f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\quad f(0) = e^{0} \approx 1 \;\Rightarrow\; H(0 \mid 1)\)
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3 P.
\(\text{Wendepunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)Lösung: \(f''(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 1,\quad f(1) = 2e^{-1} \approx 0{,}74 \;\Rightarrow\; W(1 \mid 0{,}74)\)
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3 P.
\(\text{Fläche zwischen G und der x-Achse für } -1 \leq x \leq 0 \text{ (2 Stellen)}\)FELösung: \(A = \int_{-1}^{0} f(x)\,dx = F(0) - F(-1) = -2 + e^{1} \approx 0{,}72\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 750 ml und der Standardabweichung σ = 8 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als } 730\text{ ml enthält (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(X < 730) = \Phi\left(\frac{730 - 750}{8}\right) = \Phi(-2{,}5) \approx 0{,}006\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens } 12\text{ ml von } \mu \text{ abweicht (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(738 \leq X \leq 762) = 2\,\Phi(1{,}5) - 1 \approx 0{,}866\)
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2 P.
\(\text{Wie viele von 2000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als } 730\text{ ml? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(2000 \cdot 0{,}0062 \approx 12\)
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2 P.
\(\text{Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5\,\% vollsten? (1 Stelle)}\)mlLösung: \(P(X \geq c) = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 750}{8}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{c - 750}{8} \approx 1{,}645 \;\Rightarrow\; c \approx 763{,}2\,\text{ml}\)
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2 P.
\(\text{Auf welchen Wert muss } \sigma \text{ sinken, damit nur 1\,\% der Flaschen weniger als } 730\text{ ml enthalten? (2 Stellen)}\)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-20}{\sigma}\right) = 0{,}01 \;\Rightarrow\; \frac{20}{\sigma} \approx 2{,}326 \;\Rightarrow\; \sigma \approx 8{,}6\,\text{ml}\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|2) + t · (12|4|3), die von Flugzeug F₂ ist (41|7|8) + t · (-5|6|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
\(\text{Geschwindigkeit von } F_1 \text{ in km/h}\)km/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{144 + 16 + 9} = 13\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}} \;\Rightarrow\; 780\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
\(\text{Steigungswinkel von } F_1 \text{ gegenüber dem Boden (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{3}{13} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 13{,}34^\circ\)
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2 P.
\(\text{Wo ist } F_1 \text{ nach 5 Minuten?}\)Lösung: \((0|0|2) + 5 \cdot (12|4|3) = (60|20|17)\)
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2 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)}\)minLösung: \(d(t)^2 = |(-41|-7|-6) + t \cdot (17|-2|3)|^2 \text{ minimal} \;\Rightarrow\; t = 2{,}32\,\text{min}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)}\)kmLösung: \(d(2{,}32) \approx 11{,}78\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.