Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 12 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = 2·(x³ − 3a·x²) − 1 mit a > 0. Tipp: Der Parameter a ist eine feste Zahl, die Du nur nicht kennst – leite ab wie gewohnt. Für die Ortskurve stellst Du x_T = … nach a um und setzt in y_T ein.
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2 P.
\(\text{x-Koordinate des Tiefpunkts (Term mit a)}\)Lösung: \(f_a'(x) = 6x^2 - 12a\,x = 6x(x - 2a) = 0,\quad f_a''(2a) = 12a > 0 \;\Rightarrow\; x_T = 2a\)
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2 P.
\(\text{y-Koordinate des Tiefpunkts (Term mit a)}\)Lösung: \(f_a(2a) = 2(8a^3 - 12a^3) - 1 = -8a^3 - 1\)
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3 P.
\(\text{Gleichung der Ortskurve aller Tiefpunkte}\)Lösung: \(x = 2a \;\Rightarrow\; a = \tfrac{x}{2} \;\Rightarrow\; y = -8\left(\tfrac{x}{2}\right)^3 - 1 = -x^3 - 1\)
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3 P.
\(\text{Für welches a liegt der Tiefpunkt auf der Höhe } y = -9?\)Lösung: \(-8a^3 - 1 = -9 \;\Rightarrow\; a^3 = 1 \;\Rightarrow\; a = 1\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 60 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 50 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,6 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,6 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
\(\text{Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat}\)Lösung: \(E(X) = 50 \cdot 0{,}6 = 30\)
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4 P.
\(\text{Bis zu wie vielen Befürwortern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \leq 23) \approx 0{,}0314 \leq 0{,}05,\quad P(X \leq 24) \approx 0{,}0573 > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 23\}\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 23) \approx 0{,}0314\)
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3 P.
\(\text{In Wahrheit sind nur 50\,\% dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}5}(X \geq 24) = 1 - P(X \leq 23) \approx 0{,}6641\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(8|0|0), B(0|8|0) und C(0|0|4) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
\(\text{Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}32\\32\\64\end{pmatrix},\quad A = \tfrac{1}{2}\sqrt{6144} \approx 39{,}19\,\text{m}^2\)
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3 P.
\(\text{Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{64}{\sqrt{6144}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 35{,}26^\circ\)
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2 P.
\(\text{Ein senkrechter Mast steht in } P(4|2|0)\text{. In welchem Punkt trifft er das Segel?}\)Lösung: \(\tfrac{x}{8} + \tfrac{y}{8} + \tfrac{z}{4} = 1 \text{ mit } x = 4,\ y = 2 \;\Rightarrow\; S(4 \mid 2 \mid 1)\)
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2 P.
\(\text{Wie weit ist die Hausecke } O \text{ vom Segel entfernt? (2 Stellen)}\)mLösung: \(d = \frac{|32 \cdot 0 + 32 \cdot 0 + 64 \cdot 0 - 256|}{\sqrt{6144}} \approx 3{,}27\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.