Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 21 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = -\frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{5}x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{6}{x^{4}} - \frac{12}{5}x^{3}\)
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\(f(x) = -\frac{5}{4}x^{3} + 6\sqrt{x}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{15}{4}x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{1}^{4} \left(x\right) dx\)Lösung: \(\int_{1}^{4} \left(x\right) dx = \frac{15}{2}\)
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\(\int_{0}^{2} \left(2x^{2} - 6x + 5\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{2} \left(2x^{2} - 6x + 5\right) dx = \frac{10}{3}\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(-1 \,\middle|\, 1\right),\ P_2\left(1 \,\middle|\, 17\right),\ P_3\left(2 \,\middle|\, 31\right)\)Lösung: \(f(x) = 2x^{2} + 8x + 7\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \ge 1{,}08)\)Lösung: \(P(Z \ge 1{,}08) = 1 - \Phi(1{,}08) \approx 0{,}1401\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((-1 \mid -3 \mid -2) \cdot (1 \mid 0 \mid 3)\)Lösung: \((-1 \mid -3 \mid -2) \cdot (1 \mid 0 \mid 3) = -7\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
In einem Speicher sind zu Beginn (t = 0) 100 m³ Wasser. Die Änderungsrate des Wasservolumens beträgt r(t) = 6 · (6 − t) in m³ pro Stunde (t in Stunden). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Abfluss. Tipp: Das Volumen ist der Anfangsbestand plus die Integralfunktion der Rate: V(t) = 100 + ∫₀ᵗ r(s) ds. Am meisten Wasser ist im Speicher, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt.
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3 P.
\(\text{Gib das Volumen } V(t) \text{ als Term an.}\)Lösung: \(V(t) = 100 + \int_0^t 6(6 - s)\,ds = 100 + 36t - 3t^2\)
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2 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Speicher?}\)hLösung: \(r(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 6\,\text{h}\quad(\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ nach } -)\)
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3 P.
\(\text{Wie viel Wasser ist dann im Speicher?}\)m³Lösung: \(V(6) = 100 + 216 - 108 = 208\,\text{m}^3\)
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2 P.
\(\text{Wann ist wieder so viel Wasser im Speicher wie am Anfang?}\)hLösung: \(V(t) = 100 \;\Rightarrow\; 36t - 3t^2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 12\,\text{h}\quad (t = 0 \text{ ist der Anfang})\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 500 ml und der Standardabweichung σ = 5 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als } 490\text{ ml enthält (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(X < 490) = \Phi\left(\frac{490 - 500}{5}\right) = \Phi(-2) \approx 0{,}023\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens } 5\text{ ml von } \mu \text{ abweicht (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(495 \leq X \leq 505) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683\)
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2 P.
\(\text{Wie viele von 1000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als } 490\text{ ml? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(1000 \cdot 0{,}0228 \approx 23\)
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2 P.
\(\text{Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5\,\% vollsten? (1 Stelle)}\)mlLösung: \(P(X \geq c) = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 500}{5}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{c - 500}{5} \approx 1{,}645 \;\Rightarrow\; c \approx 508{,}2\,\text{ml}\)
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2 P.
\(\text{Auf welchen Wert muss } \sigma \text{ sinken, damit nur 1\,\% der Flaschen weniger als } 490\text{ ml enthalten? (2 Stellen)}\)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-10}{\sigma}\right) = 0{,}01 \;\Rightarrow\; \frac{10}{\sigma} \approx 2{,}326 \;\Rightarrow\; \sigma \approx 4{,}3\,\text{ml}\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|2) + t · (12|4|3), die von Flugzeug F₂ ist (51|0|4) + t · (-8|2|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
\(\text{Geschwindigkeit von } F_1 \text{ in km/h}\)km/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{144 + 16 + 9} = 13\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}} \;\Rightarrow\; 780\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
\(\text{Steigungswinkel von } F_1 \text{ gegenüber dem Boden (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{3}{13} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 13{,}34^\circ\)
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2 P.
\(\text{Wo ist } F_1 \text{ nach 2 Minuten?}\)Lösung: \((0|0|2) + 2 \cdot (12|4|3) = (24|8|8)\)
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2 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)}\)minLösung: \(d(t)^2 = |(-51|0|-2) + t \cdot (20|2|3)|^2 \text{ minimal} \;\Rightarrow\; t = 2{,}48\,\text{min}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)}\)kmLösung: \(d(2{,}48) \approx 7{,}49\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.