Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 19 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = -\frac{6}{x^{3}} + \frac{3}{5}x^{2}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{18}{x^{4}} + \frac{6}{5}x\)
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\(f(x) = x^{4} + \frac{2}{x}\)Lösung: \(f'(x) = 4x^{3} - \frac{2}{x^{2}}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{2}^{5} \left(5x^{2}\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{5} \left(5x^{2}\right) dx = 195\)
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\(\int_{0}^{3} \left(2x^{2} + 2x - 2\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{3} \left(2x^{2} + 2x - 2\right) dx = 21\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(-2 \,\middle|\, 1\right),\ P_2\left(-1 \,\middle|\, -2\right),\ P_3\left(2 \,\middle|\, -23\right)\)Lösung: \(f(x) = -x^{2} - 6x - 7\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le 1{,}08)\)Lösung: \(P(Z \le 1{,}08) = \Phi(1{,}08) \approx 0{,}8599\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((1 \mid 6 \mid -6) \cdot (-6 \mid 6 \mid 6)\)Lösung: \((1 \mid 6 \mid -6) \cdot (-6 \mid 6 \mid 6) = -6\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
Ein frisch aufgegossener Tee steht in einem Raum mit 20 °C. Seine Temperatur in °C nach t Minuten beschreibt T(t) = 20 + 60 · e^(−0,08t). Tipp: Der Tee kühlt nie unter die Raumtemperatur ab – der Teil 60 · e^(…) wird nur immer kleiner. Eine negative Änderungsrate bedeutet: Die Temperatur sinkt.
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2 P.
\(\text{Wie heiß ist der Tee am Anfang?}\)°CLösung: \(T(0) = 20 + 60 \cdot e^{0} = 80\,^\circ\text{C}\)
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2 P.
\(\text{Wie warm ist der Tee nach 10 Minuten? (2 Stellen)}\)°CLösung: \(T(10) = 20 + 60 \cdot e^{-0{,}8} \approx 46{,}96\,^\circ\text{C}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten ist der Tee auf 45 °C abgekühlt? (2 Stellen)}\)minLösung: \(60 \cdot e^{-0{,}08t} = 25 \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln(60 / 25)}{0{,}08} \approx 10{,}94\,\text{min}\)
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3 P.
\(\text{Berechne die Änderungsrate } T'(10) \text{ in °C pro Minute (2 Stellen).}\)°C/minLösung: \(T'(t) = -4{,}8 \cdot e^{-0{,}08t} \;\Rightarrow\; T'(10) \approx -2{,}16\,\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 50 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 50 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,5 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,5 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
\(\text{Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat}\)Lösung: \(E(X) = 50 \cdot 0{,}5 = 25\)
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4 P.
\(\text{Bis zu wie vielen Befürwortern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \leq 18) \approx 0{,}0325 \leq 0{,}05,\quad P(X \leq 19) \approx 0{,}0595 > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 18\}\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 18) \approx 0{,}0325\)
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3 P.
\(\text{In Wahrheit sind nur 40\,\% dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}4}(X \geq 19) = 1 - P(X \leq 18) \approx 0{,}6644\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(6|0|0), C(6|6|0), D(0|6|0) und S(3|3|3). Eine Längeneinheit ist 1 m. Tipp: Eine Kante ist ein Vektor – ihre Länge ist sein Betrag.
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3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)mLösung: \(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} \approx 5{,}2\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³Lösung: \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 3 = 36\,\text{m}^3\)
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3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{27}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 35{,}26^\circ\)
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2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)Lösung: \(M\left(\tfrac{6 + 3}{2} \mid \tfrac{0 + 3}{2} \mid \tfrac{0 + 3}{2}\right) = M(4{,}5 \mid 1{,}5 \mid 1{,}5)\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.