Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 19 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = \frac{3}{x^{3}} - \frac{4}{5}x^{3}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{9}{x^{4}} - \frac{12}{5}x^{2}\)
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\(f(x) = -\frac{6}{x^{2}} + \frac{5}{3}x^{2}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{12}{x^{3}} + \frac{10}{3}x\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{0}^{3} \left(3x\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{3} \left(3x\right) dx = \frac{27}{2}\)
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\(\int_{0}^{3} \left(-x\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{3} \left(-x\right) dx = -\frac{9}{2}\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } H\left(1 \,\middle|\, 4\right),\ P\left(4 \,\middle|\, -14\right)\)Lösung: \(f(x) = -2x^{2} + 4x + 2\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le -1{,}23)\)Lösung: \(P(Z \le -1{,}23) = \Phi(-1{,}23) \approx 0{,}1093\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((1 \mid -1 \mid 5) \cdot (-5 \mid 4 \mid 0)\)Lösung: \((1 \mid -1 \mid 5) \cdot (-5 \mid 4 \mid 0) = -9\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
In einer Nährlösung vermehren sich Bakterien. Die Anzahl der Bakterien nach t Stunden beschreibt N(t) = 1000 · e^(0,3t). Tipp: Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, hilft der natürliche Logarithmus ln – er macht e^(…) rückgängig. Die Ableitung N′(t) gibt an, wie viele Bakterien pro Stunde gerade dazukommen.
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2 P.
\(\text{Wie viele Bakterien sind es nach 5 Stunden? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(N(5) = 1000 \cdot e^{1{,}5} \approx 4482\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Stunden hat sich die Anzahl verdoppelt? (2 Stellen)}\)hLösung: \(1000 \cdot e^{0{,}3t} = 2000 \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln 2}{0{,}3} \approx 2{,}31\,\text{h}\)
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2 P.
\(\text{Wann sind es zehnmal so viele Bakterien wie am Anfang? (2 Stellen)}\)hLösung: \(e^{0{,}3t} = 10 \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln 10}{0{,}3} \approx 7{,}68\,\text{h}\)
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3 P.
\(\text{Wie schnell wächst die Kultur nach 5 Stunden? (Bakterien pro Stunde, ganze Zahl)}\)Lösung: \(N'(t) = 300 \cdot e^{0{,}3t} \;\Rightarrow\; N'(5) \approx 1345\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 60 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 50 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,6 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,6 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
\(\text{Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat}\)Lösung: \(E(X) = 50 \cdot 0{,}6 = 30\)
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4 P.
\(\text{Bis zu wie vielen Befürwortern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \leq 23) \approx 0{,}0314 \leq 0{,}05,\quad P(X \leq 24) \approx 0{,}0573 > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 23\}\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 23) \approx 0{,}0314\)
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3 P.
\(\text{In Wahrheit sind nur 50\,\% dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}5}(X \geq 24) = 1 - P(X \leq 23) \approx 0{,}6641\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0), D(0|4|0) und S(2|2|6). Eine Längeneinheit ist 1 m. Tipp: Eine Kante ist ein Vektor – ihre Länge ist sein Betrag.
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3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)mLösung: \(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{44} \approx 6{,}63\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³Lösung: \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 6 = 32\,\text{m}^3\)
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3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{6}{\sqrt{44}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 64{,}76^\circ\)
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2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)Lösung: \(M\left(\tfrac{4 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 6}{2}\right) = M(3 \mid 1 \mid 3)\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.