Probe-Klausur Differentialrechnung
Klasse 11–12 · Ableiten, Tangenten, Polynomdivision, Wendetangente und Steckbriefaufgaben.
- 16 Aufgaben
- 52 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = -\frac{6}{x^{2}} - \frac{1}{5}x^{2}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{12}{x^{3}} - \frac{2}{5}x\)
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\(f(x) = 2x^{3} - \frac{4}{x^{2}}\)Lösung: \(f'(x) = 6x^{2} + \frac{8}{x^{3}}\)
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\(f(x) = -\frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4}x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{3}{x^{4}} + 3x^{3}\)
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\(f(x) = \frac{2}{x^{2}} - x^{3}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{4}{x^{3}} - 3x^{2}\)
Aufgabe 2: Tangentengleichung (je 4 P.)
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x₀: t(x) = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀).
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\(f(x) = -4x^{2} + x + 1,\quad x_0 = -3\)Lösung: \(t(x) = 25x + 37\)
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\(f(x) = -5x^{2} + x,\quad x_0 = 1\)Lösung: \(t(x) = -9x + 5\)
Aufgabe 3: Polynomdivision (je 3 P.)
Führe die Polynomdivision schriftlich durch. Die Division geht ohne Rest auf.
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\(\left(2x^{3} - 6x^{2} - 6x + 18\right) : \left(x - 3\right)\)Lösung: \(\left(2x^{3} - 6x^{2} - 6x + 18\right) : \left(x - 3\right) = 2x^{2} - 6\)
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\(\left(2x^{3} - 7x^{2} + 2x + 8\right) : \left(x - 2\right)\)Lösung: \(\left(2x^{3} - 7x^{2} + 2x + 8\right) : \left(x - 2\right) = 2x^{2} - 3x - 4\)
Aufgabe 4: Extrempunkte (5 P.)
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte. Schreibe sie so: H(1|2); T(3|-1).
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\(f(x) = -2x^{3} + 24x^{2} - 90x - 1\)Lösung: \(T\left(3 \,\middle|\, -109\right),\quad H\left(5 \,\middle|\, -101\right)\)
Aufgabe 5: Wendetangente (5 P.)
Bestimme die Gleichung der Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) in der Form t(x) = mx + b.
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\(f(x) = x^{3} + 9x^{2} + 23x + 12\)Lösung: \(t(x) = -4x - 15\)
Aufgabe 6: Steckbriefaufgaben (je 5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(1 \,\middle|\, -4\right),\ P_2\left(2 \,\middle|\, -6\right),\ P_3\left(3 \,\middle|\, -12\right)\)Lösung: \(f(x) = -2x^{2} + 4x - 6\)
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\(\text{Grad 2: } H\left(-3 \,\middle|\, -1\right),\ P\left(-1 \,\middle|\, -9\right)\)Lösung: \(f(x) = -2x^{2} - 12x - 19\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Ein Ball wird aus 5 m Höhe senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden (in Metern) nach t Sekunden beschreibt die Funktion h(t) = −5t² + 25t + 5. Den Luftwiderstand lassen wir weg. Tipp: Die größte Höhe ist der Hochpunkt des Graphen – dort ist die Ableitung h′(t) = 0.
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2 P.
\(\text{Wie hoch ist der Ball nach 1 Sekunde?}\)mLösung: \(h(1) = -5 + 25 + 5 = 25\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Sekunden ist der Ball am höchsten?}\)sLösung: \(h'(t) = -10t + 25 = 0 \;\Rightarrow\; t = 2{,}5\,\text{s}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die größte Höhe?}\)mLösung: \(h(2{,}5) = 36{,}25\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Wann landet der Ball? (in Sekunden, auf 2 Stellen runden)}\)sLösung: \(-5t^{2} + 25t + 5 = 0 \;\Rightarrow\; t \approx 5{,}19\,\text{s}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.