Probe-Klausur Analytische Geometrie
Klasse 12–13 · Betrag, Skalarprodukt, Determinanten und Abstand Punkt–Ebene.
- 16 Aufgaben
- 44 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Betrag eines Vektors (je 2 P.)
Der Betrag ist die Länge eines Vektors: die Wurzel aus x² + y² + z². Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors. Gib Wurzeln exakt an.
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\(d(A, B) \text{ für } A(-3 \mid 0 \mid -3),\ B(0 \mid 2 \mid -9)\)Lösung: \(d(A, B) \text{ für } A(-3 \mid 0 \mid -3),\ B(0 \mid 2 \mid -9) = 7\)
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\(d(A, B) \text{ für } A(-2 \mid -1 \mid 4),\ B(-11 \mid 11 \mid 12)\)Lösung: \(d(A, B) \text{ für } A(-2 \mid -1 \mid 4),\ B(-11 \mid 11 \mid 12) = 17\)
Aufgabe 2: Skalarprodukt und Winkel (je 3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((-2 \mid -2 \mid 1) \cdot (-2 \mid 6 \mid 6)\)Lösung: \((-2 \mid -2 \mid 1) \cdot (-2 \mid 6 \mid 6) = -2\)
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\((0 \mid 6 \mid 2) \cdot (-1 \mid -5 \mid -4)\)Lösung: \((0 \mid 6 \mid 2) \cdot (-1 \mid -5 \mid -4) = -38\)
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\((-5 \mid -3 \mid 6) \cdot (-1 \mid 2 \mid 2)\)Lösung: \((-5 \mid -3 \mid 6) \cdot (-1 \mid 2 \mid 2) = 11\)
Aufgabe 3: Gerade durch zwei Punkte (3 P.)
Stelle eine Gleichung der Geraden durch A und B auf. Schreibe sie so: (1|2|3) + t·(4|5|6).
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\(A(3 \mid -2 \mid -2),\ B(-2 \mid -1 \mid 2)\)Lösung: \(\vec{x} = (3 \mid -2 \mid -2) + t \cdot (-5 \mid 1 \mid 4)\)
Aufgabe 4: Kreuzprodukt (2 P.)
Kreuzprodukt von a = (a1 | a2 | a3) und b = (b1 | b2 | b3): (a2·b3 - a3·b2 | a3·b1 - a1·b3 | a1·b2 - a2·b1). Der Betrag des Kreuzprodukts ist der Flächeninhalt des Parallelogramms aus a und b, das Dreieck ist halb so groß.
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\((3 \mid 4 \mid 1) \times (-4 \mid -5 \mid 4)\)Lösung: \((3 \mid 4 \mid 1) \times (-4 \mid -5 \mid 4) = (21 \mid -16 \mid 1)\)
Aufgabe 5: Determinanten (je 3 P.)
Berechne die Determinante. 2×2: Hauptdiagonale mal minus Nebendiagonale mal. 3×3: Regel von Sarrus.
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\(\det\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\)Lösung: \(\det\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2\)
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\(\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)Lösung: \(\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 9\)
Aufgabe 6: Abstand Punkt–Ebene (je 5 P.)
Berechne den Abstand des Punktes Q von der Ebene E mit der Hesseschen Normalform. Gib das Ergebnis exakt an.
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\(E: 4x_{1} + 3x_{2} = 1,\quad Q(-2 \mid -4 \mid 3)\)\(d =\)Lösung: \(E: 4x_{1} + 3x_{2} = 1,\quad Q(-2 \mid -4 \mid 3) = d = \frac{21}{5}\)
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\(E: 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = -1,\quad Q(1 \mid 1 \mid 0)\)\(d =\)Lösung: \(E: 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = -1,\quad Q(1 \mid 1 \mid 0) = d = \frac{4}{3}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|3) + t · (8|4|1), die von Flugzeug F₂ ist (48|3|9) + t · (-7|6|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
\(\text{Geschwindigkeit von } F_1 \text{ in km/h}\)km/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{64 + 16 + 1} = 9\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}} \;\Rightarrow\; 540\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
\(\text{Steigungswinkel von } F_1 \text{ gegenüber dem Boden (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{1}{9} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 6{,}38^\circ\)
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2 P.
\(\text{Wo ist } F_1 \text{ nach 3 Minuten?}\)Lösung: \((0|0|3) + 3 \cdot (8|4|1) = (24|12|6)\)
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2 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)}\)minLösung: \(d(t)^2 = |(-48|-3|-6) + t \cdot (15|-2|1)|^2 \text{ minimal} \;\Rightarrow\; t = 3{,}13\,\text{min}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)}\)kmLösung: \(d(3{,}13) \approx 9{,}75\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.